第七章第五节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是(　　)
A．l∥m，l⊥α　　　　　　　　B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α
解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.
答案：C
2．已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，AP∩α＝P，若条件p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：直线OP⊥直线a⇔直线AP⊥直线a，即┐p⇔┐q，则p⇔q.
答案：C
3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．
答案：D
4．(2010·山东济南)设a，b，c表示三条直线α、β表示两个平面，下列命题中不正确的是(　　)
A.⇒a⊥β B.⇒a⊥b
C.⇒c∥α D.⇒b⊥α
解析：经判断可知，选项A、B、C均正确．对于选项D，与直线a垂直的直线有无数多条，这些直线与平面α的关系也可能是平行的，如正方体的上底面的两条相邻棱互相垂直，但这两条棱与下底面的关系是平行而不是垂直．
答案：D
5．(2010·陕西宝鸡)设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
解析：当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.
答案：B
6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析：∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正确．
答案：D
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号)
①平面ABC⊥平面ABD
②平面ABD⊥平面BCD
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
答案：③
8．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：
①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；
②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；
③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；
④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．
其中错误的是________．
解析：因为直线m是平面α的斜线，在平面α内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以①错误；②正确；③错误，设b⊂α，b⊥m，c∥b，c⊄α，则c∥α，c⊥m；④错误，如正方体AC1中，m是直线BC1，平面ABCD是α，则平面ADD1A1既与α垂直，又与m平行．
答案：①③④
9．(2010·合肥第一次质检)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析：由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行，故填①②.
答案：①②
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．(2010·山东临沂)在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.
(1)求证：C1O∥平面AB1D1；
(2)求证：平面AB1D1⊥平面
ACC1A1.
证明：(1)连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1.
在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，
∴四边形AOC1O1为平行四边形，
∴C1O∥AO1.
∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，
∴C1O∥平面AB1D1.
(2)在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴A1A⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.
∵A1C1∩AA1＝A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，
∴B1D1⊥平面ACC1A1.
∵B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
11．(2010·北京海淀)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝AD＝2.点E为AB中点．
(1)求三棱锥A1－ADE的体积；
(2)求证：A1D⊥平面ABC1D1；
(3)求证：BD1∥平面A1DE.
解：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，
因为AB＝1，E为AB的中点，
所以，AE＝.
又因为AD＝2，
所以S△ADE＝AD·AE＝×2×＝.
又AA1⊥底面ABCD，AA1＝2，
所以三棱锥A1－ADE的体积
V＝S△ADE·AA1＝××2＝.
(2)证明：因为AB⊥平面ADD1A1，
A1D⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D.
因为ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又AD1∩AB＝A，
AD1⊂平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1.
(3)证明：设AD1，A1D的交点为O，连结OE.
因为ADD1A1为正方形，
所以O是AD1的中点，
在△AD1B中，OE为中位线，
所以OE∥BD1.
又OE⊂平面A1DE，BD1⊄平面A1DE，
所以BD1∥平面A1DE.
12．(2010·茂名模拟)如图所示，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，CD＝AB，G为线段AB的中点，将 △ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A－BCDG.
(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；
(2)求证：AG⊥平面BCDG.

证明：(1)依题意，折叠前后CD、BG的位置关系不改变，
∴CD∥BG.
∵E、F分别为线段AC、AD的中点，
∴在△ACD中，EF∥CD，∴EF∥BG.
又EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，∴EF∥平面ABG.
(2)将△ADG沿GD折起后，AG、GD的位置关系不改变，
∴AG⊥GD.
又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG＝GD，AG⊂平面AGD，
∴AG⊥平面BCDG.