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省丹中高一创新班期末复习讲义 直线与圆
直线与圆
一、 填空题
1、经过点(-2,3),且与直线平行的直线方程为______________.
【答案】
2．已知直线若与关于轴对称，则的方程为_____

3．点在直线上，则的最小值是___________.
解：可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
4．直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为
，则直线的方程为________________。
解： 平分平行四边形的面积，则直线过的中点
5、已知两圆相交于两点，且两圆的圆心都在直线上，则的值是 ▲ . 3
6、在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ）．C

A．　 B． C． D．
7、点在直线上的射影是，则的值依次为（ ）
8、已知圆和直线4x－3y＝0交于两点则=（ ）21
9、若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（ ）．
10、已知成等差数列,点在直线上的射影点为,点,则的最大值为_____________ .
【答案】
11、已知动点满足,为坐标原点,若的最大值的取值范围为则实数的取值范围是________【答案】
12、当且仅当时,在圆上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1,则的值为______.【答案】
13、已知A( —2,0),B(0,2),实数k是常数,M、N是圆上不同的两点,P是圆. 上的动点,如果M、N关于直线X—y—1 = 0对称,则ΔPAB面积的最大值是______.【答案】
14、某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,交曲线于点,则(为坐标原点)的面积的最小值为_______.
【答案】
二、解答题
15、已知直线l过点P（1，1）， 并与直线l1：x－y+3=0和l2：2x+y－6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求：（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）以原点O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．
解：（Ⅰ）依题意可设A、，则
， ，解得，．
即，又l过点P，易得AB方程为．
（Ⅱ）设圆的半径为R，则，其中d为弦心距，，
可得，故所求圆的方程为．

16、已知⊙，直线
（1）求证：对，直线与⊙总有两个不同的交点.
（2）求弦长的取值范围.（3）求弦长为整数的弦共有几条.
解：（1）由可得：
令 直线过定点
又 在⊙内直线与⊙交于两点
（2）当直线过圆心时，取最大值，此时
当直线时，取最小值，，，而此时不存在综上有：
（3）由（2）知：，故弦长为整数的值有各有条，而时有条，故弦长为整数的弦共有条。
17、如图，射线、分别与轴成角和角，过点作直线分别与、交于、．
（Ⅰ）当的中点为时，求直线的方程；
（Ⅱ）当的中点在直线上时，求直线的方程．

解：（Ⅰ）由题意得，OA的方程为，OB的方程为，设，
。∵　AB的中点为， ∴　　得　，
∴　　即AB方程为　
　（Ⅱ）AB中点坐标为在直线上，　
则　，即　　 ①
∵ ， ∴　　　　　　　②
由①、②得 ，则 ，
所以所求AB的方程为

18、已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.
【答案】解(1)将圆C配方得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx,由=,解得k=2±,得y=(2±)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y-a=0,
由=,得|a-1|=2,即a=-1,或a=3.
∴直线方程为x+y+1=0,或x+y-3=0.
综上,圆的切线方程为y=(2+)x,或y=(2-)x,或x+y+1=0,或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0.
即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,即OP取得最小值,直线OP⊥l,∴直线OP的方程为2x+y=0.
解方程组得点P的坐标为.

19、平面直角坐标系中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为,（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
解：⑴因为点到直线的距离为，
所以圆的半径为，故圆的方程为．
⑵设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，即， ，
当且仅当时取等号，此时直线的方程为．
⑶设，，则，，，
直线与轴交点，，
直线与轴交点，， ，
故为定值2．

20、已知圆，直线过定点A(1，0)．
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。
解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即： ，
解之得 。 所求直线方程是，。
（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为由 得．
又直线CM与垂直，由 得
∴
为定值。 故是定值，且为6。
解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为。
由 得．、 ……（8分）
再由 得．
∴ 得． ……（10分）

以下同解法一．
解法三：用几何法，
如图所示，△AMC∽△ABN，则，
可得，是定值．