1、第六讲 数列的概念
1.数列的概念； 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第项,…,排在第位的数称为这个数列的第项.
注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.
2.数列的记法
数列的一般形式可以写成:,可简记为.其中是数列的第项.
3.数列的通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公
2、式.
注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如,
它的通项公式可以是,也可以是.
(2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.
4.数列的本质
从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集(或它的子集)的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.
5.数列的分类
(1)按数列的项数是否有限,分为
3、有穷数列和无穷数列.
项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.
一个数列从第项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;
一个数列从第项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;
各项相等的数列叫做常数列;
一个数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
6.递推公式
已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式
4、
注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.
类型之一：由数列的前几项写出数列的通项公式.
相关链接：观察、分析项的特点，归纳出项与项数的关系、规律.
例1.根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；（2），，，，，，…；
（3）7，77，777，7777，…；（4）1，3，7，15，31，…
类型之二：数列最大项、最小项问题. 相关链接：（1）比较法；（2）利用函数的单调性（3）若an最大，则满足
例2.已知.试问：数列中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由.
类型之三：
5、利用Sn与an的关系求通项. 相关链接：an=
例3. 已知数列的前n项和Sn= ,求数列的通项公式an.
类型之四：由递推数列求通项公式. 由递推公式求通项公式的常用方法：叠加法，叠乘法，周期法，归纳猜想法，迭代法，取倒数法，取对数法，构造法等
（1） 叠加法：形如an+1-an=f(n)且f(n)的前n项和易求,常用当____________________
当
例1.数列{an}中,a1=2,an+1=an+. 求通项an
叠乘法:形如=f(n)(常数或等比qn,或等) 且f(n)的前n项积易求：常用当____________________
6、当
例2.设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0,求通项an
(3)周期法：若数列满足则非零常数T是数列的周期。
例3.在数列中，an+1=an+ (n,且，则
(4)归纳猜想法：一般用于填空和选择
7、题
例4.已知数列{an}中,a1=2,an=(n,则a20=_________.
1.已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)，则当n≥1时an等于_______
2.已知数列{an}满足a1=1，,则a20=_________.
3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2,则a2003=__________.
4. 已知.则数列中最大项为_______ , 最小项为_______
5. 已知数列的前n项和Sn ,满足求数列的通项公式an.
6. 已知数列{an}满足a1=1，a1a2…an-1 an= (n≥2)，则an等于_______
3
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