“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc

“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
题 号
一
二
三
总 分
1～5
6～10
11
12
13
14
得 分

评卷人

复查人

答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.
2．解答书写时不要超过装订线.
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
1．已知实数满足 ，则的值为 ）．
（A）7 （B） （C） （D）5
【答】（A）
解：因为，≥0，由已知条件得
， ，
所以 7．
另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以　
故＝
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】（C）
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知
＝＞0，即＞4.
通过枚举知，满足条件的有17对. 故.
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．
（A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条
（第3题）
【答】（B）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．
（第4题）
4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ ）．
（A） （B）1 （C） （D）a
【答】（B）
解：如图，连接OE，OA，OB． 设，则
．
又因为，
所以≌，于是．
另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径
作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上，
由
所以
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种
【答】（D）
解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ．
【答】，或．
解：由，得，
依题意有
解得，，或．
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
【答】4．
解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 ． ①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则． 　②
（第8题5数，段成比例，所以）
由①，②可得 ，所以 ．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，
AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 ．
（第8题答案5数，段成比例，所以）
【答】9．
解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．
又，所以 ，
所以 ．
因此 9．
另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交
AE于点N.
则
所以.　又，所以四边形是等腰梯形，
即

9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 ．
（第9题答案5数，段成比例，所以）
【答】．
解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，
BC边上的高为，则
，　
　所以 ．
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此，
所以 ，
故 ．
另解： ＝
（这里）　所以，　
由△ADE∽△ABC，得　，
即
10．关于x，y的方程的所有正整数解为 ．
【答】
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．
设，则
，
同上可知，a，b都是偶数．设，则
，
所以，c，d都是偶数．设，则
，
于是 ＝，
其中s，t都是偶数．所以
≤．
所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是
因此

另解因为　则有
又y正整数，所以
令
因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9
由知的个位数只能是1和1或6和6；
当的个位数是1和1时，则的个位数字可以为1或9
但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与的十位数字为3矛盾。
当的个位数是6和6时，则的个位数字可以为4或6。
由，取＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入得，只有当＝136时，=56，即　解得
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于．
（1） 用b表示k；
（2） 求△OAB面积的最小值．
解：（1）令，得；令，得．
所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为
．
由题意，有　　，
解得 ，．……………… 5分
（2）由（1）知　
≥，
当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立．
所以，△ABC面积的最小值为． ……………… 15分
12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令，
其中n是一个非负整数．则． ……………… 5分
由于1≤≤q+n，且与同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：

消去n，解得．……………… 10分
对于第1，3种情形，，从而q＝5；对于第2，5种情形，，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当，q＝5时，方程为，它的根为，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数……………… 15分
★12、已知为正整数，关于的方程的两个实数根为，
关于的方程的两个实数根为，且满足.
求的最小值.
另解：由韦达定理，得　；
即
解得：
把的值分别代入　得
或（不成立）
即，
因为　所以
于是有　　即
因为a,b都是正整数，所以
分别解得：
经检验只有：符合题意.
所以b的最小值为：
13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．
解：存在满足条件的三角形．
当△ABC的三边长分别为，，时，．……………… 5分
如图，当时，延长BA至点D，使．连接CD，则△为等腰三角形．因为为△的一个外角，所以．由已知，，所以
（第13（A）题答案5数，段成比例，所以）
．所以△为等腰三角形．
又为△与△的一个公共角，有△∽△，于是
， 即 ，　　
所以 ．
而，所以此三角形满足题设条件，
故存在满足条件的三角形． ……………… 15分
说明：满足条件的三角形是唯一的．
若，可得．有如下三种情形：
（i）当时，设，，（为大于1的正整数），
代入，得，解得，有，，；
（ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数），
代入，得，解得 ，有，，，此时不能构成三角形；
（ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数），
代入，得，即 ，此方程无整数解．
所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．
★13、如图，△ABC的三边长都是整数，且的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且，求△ABC的周长.
另解：如图，连结GA，GB，过G，I作直线交BC、AC于点E、F，作△ABC的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P，内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为

易知：,在中，
即
∴
又∵，所以CE＝CF
由
得：
即
整理得　，即
设△ABC的周长为，则为整数。
由已知，设，代入上式，得
∵，∴是12的约数，即＝1，2，3，4，6，12
不妨设，则得
经检验，只有符合题意，
所以：或，即所求△ABC的周长为35。
14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．…………… 5分
当n＝5时，设是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是中必定有一个数是5．
若中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．
若中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n的最小值为5．……………… 15分
★★ 14、已知有6个互不相同的正整数，且，从这6个数中任意取出3个数，分别设为，其中。记
证明：一定存在3个不同的数组，其中，使得对应着的3个两两之差的绝对值都小于0.5.（征求答案）
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