1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第二节 留 数,一、留数引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点留数,四、经典例题,五、小结与思索,1/30,1,一、留数引入,设,为,一个孤立奇点;,内洛朗级数:,在,.,某去心邻域,C:邻域内包含,任一条正向简单闭曲线,2/30,2,0,(高阶导数公式),0,(柯西-古萨基本定理),3/30,3,定义,记作,一个孤立奇点,则沿,内包含,任意一条简单闭曲线,C,积分,值除,后所得数称为,以,假如,4/30,4,二、利用留数求积
2、分,说明,:,2.留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求,被积函数在,C,内各孤立奇点处留数.,1.,留数定理,在区域,D,内除有限个孤,外处处解析,C,是,D,内包围诸奇,点一条正向简单闭曲线,那末,立奇点,函数,5/30,5,证,证毕,两边同时除以 且,.,.,.,如图,6/30,6,2.留数计算方法,(1)假如,为,可去奇点,假如 为 一级极点,那末,规则1,成洛朗级数求,(2)假如,为,本性奇点,(3)假如,为,极点,则有以下计算规则,展开,则需将,7/30,7,假如 为 级极点,规则2,证,那末,8/30,8,+(含有 正幂项),两边求,阶导数,证毕,得,9/30,9,规则3,假如,
3、设,及,在,都解析，,证,一级零点,为,一级极点.,为,那末,为,一级极点,且有,10/30,10,解析且,在,所以,其中 在 解析且,为 一级极点,11/30,11,三、在无穷远点留数,注意积分路线取顺时针方向,说明,记作,1.定义,设函数,在圆环域,内解析，,C,为圆环域内绕原点任何一条正向简单闭曲线，,12/30,12,.,.,.,.,.,.,.,证,由留数定理有:,(绕原点并将,内部正向简单闭曲线),包含在,2.,定理二,假如函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在全部各奇点,(,包含,点,),留数总和必等于零,.,证毕,13/30,13,说明,:由定理得,(留数定理),计算
4、积分,计算无穷远点留数.,优点,:使计算积分深入得到简化.,(防止了计算诸有限点处留数),14/30,14,3.在无穷远点处留数计算,规则4,说明,:定理二和规则4提供了,计算函数沿闭曲线,积分又一个方法:,此法在很多情况下此法更为简单.,15/30,15,现取正向简单闭曲线,C,为半径足够大,正向圆周:,于是有,证,16/30,16,内除,在,外无其它奇点.,证毕,17/30,17,四、经典例题,例,1,求,在,留数.,解,18/30,18,例,2,求,在,留数.,分析,是,三级零点,由规则3得,计算较麻烦.,19/30,19,假如利用洛朗展开式求,较方便:,解,20/30,20,说明,:,
5、如 为,m,级极点，当,m,较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求,来计算留数.,2.在应用规则2时,取得比实际级数高.,级数高反而使计算方便.,1.在实际计算中应灵活利用计算规则.,为了计算方便普通不要将,m,但有时把,m,取得比实际,如上例取,21/30,21,例,4,计算积分,C,为正向圆周:,解,为一级极点,为二级极点,22/30,22,23/30,23,例,5 计算积分,C,为正向圆周:,函数,在,外部,除,点外没有,其它奇点.,解,依据定理 2与规则4:,24/30,24,与以下解法作比较:,被积函数,有四个一级极点,都,在圆周,内部,所以,由规则3,25/30,25,可见,利用无穷远点留数更简单.,例,6 计算积分,C,为正向圆周:,解,除,被积函数,点外,其它奇点为,26/30,26,因为,与,1在,C,内部,则,所以,27/30,27,五、小结与思索,本节我们学习了留数概念、计算以及留数,定理.应重点掌握计算留数普通方法,尤其是极,点处留数求法,并会应用留数定理计算闭路复,积分.,28/30,28,思索题,29/30,29,思索题答案,放映结束，按Esc退出.,30/30,30,
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