机械工业出版社复变函数与积分变换第1章复数与复变函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,复变函数与积分变换,教 材,:,复变函数与积分变换（第,3,版）杨巧林,参 考 书,:,西安交大,复变函数与积分变换,（第四版）、其它各类相关教材,第1页,复变函数与积分变换,作业要求,:,一章结束交作业，按时交给各班课代表,上课要求,:,按时上课,(,有事要请假,);,课程性质,:,专业基础选修课程,;,课程基础,:,高等数学基本知识,总课时数,:48,第2页,复变函数与积分变换,课程要求,:,要求着重了解基本概念,;,要求掌握基本方法,;,成绩评定,:,期末总成绩,=,期末成绩*,70%+,平时成绩*,30%;,第3页,复变函数与积分变换,Complex Analysis and Integral Transforms,盐城师范学院数学科学学院,王住登,手机,:13337987680,Email:zhudengwang,第4页,复数诞生,先从二次方程谈起,:,公元前,400,年，巴比伦人发觉和使用,G.Cardano,(,卡当，,1501-1576),:,怪才，精通数学，医学，语言学，文学，占星学他发觉,没有根，但形式地表为,时无解，当,则当,时有解：,第5页,L.Euler,(1707-1783):,瑞典数学家,13,岁入大学，,17,岁获硕士,30,岁右眼失明，,60,岁完全失明,1748,年：,Euler,公式,C.Wessel,(,卡斯帕尔,韦塞尔，,挪威,1745-1818),和,R.Argand,(,阿甘得，德国,1777-1855,）将复数用平面向量或点来表示,K.F.Gauss,(,德国,1777-1855),与,W.R.Hamilton,(,爱尔兰,1805-1865),定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展,R.Descartes(,笛卡儿,):1596-1650,法国哲学家，坐标几何创始人,1637,他称一个负数开方为虚数,(imaginary number).,1777,年：首次使用,i,表示，创建了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学,第6页,复变函数理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛应用，是处理诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题有力工具。,第一章 复数与复变函数,1.1,复数及其运算,定义,对任意两实数,x,、,y,称,z=x,+,iy,或,z=x,+,yi,为复数。,1.1.1,复数概念,第7页,普通,任意两个复数不能比较大小。,复数,z,实部,Re(,z,)=,x,;,虚部,Im(,z,)=,y,.,(real part)(imaginary part),复数模,判断复数相等,第8页,定义,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,和、差、积和商为：,z,1,z,2,=(,x,1,x,2,)+,i,(,y,1,y,2,),z,1,z,2,=(,x,1,+,iy,1,)(,x,2,+,iy,2,)=(,x,1,x,2,-,y,1,y,2,)+,i,(,x,2,y,1,+,x,1,y,2,),1.1.2,代数运算,四则运算,第9页,z,1,+z,2,=z,2,+z,1,；,z,1,z,2,=z,2,z,1,；,(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,),；,z,1,(z,2,z,3,)=(z,1,z,2,)z,3,；,z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,.,运算规律,复数运算满足交换律、结合律、分配律。（,与实数相同,）即，,第10页,共轭复数性质,定义,若,z=x+iy,称,z,=,x,-,iy,为,z,共轭复数,.,(conjugate),共轭复数,第11页,第12页,第13页,1.,点表示,点表示：,数,z,与点,z,同义,.,1.2,复数几何表示,第14页,2.,向量表示法,o,x,y,(,z,),P(x,y),x,y,称向量长度为复数,z=x+iy,模,或,绝对值,；,以正实轴 为始边,以 为终边角,弧度数 称为复数,z=x+iy,辐角,.(,z,0,时,),第15页,辐角无穷多：,Arg,z,=,=,0,+2k,，,kZ,，,把其中满足,0,称为辐角,Arg,z,主值，,记作,0,=,arg,z,。,z=0,时，辐角不确定。,计算,arg,z,(,z,0),公式,第16页,当,z,落于一,四象限时，不变。,当,z,落于第二象限时，加 。,当,z,落于第三象限时，减 。,第17页,o,x,y,(,z,),z,1,z,2,z,1,+,z,2,z,2,-,z,1,由向量表示法知,3.,三角表示法,4.,指数表示法,第18页,例,1,将以下复数化为三角表示式与指数表示式,.,解,1),z,在第三象限,所以,所以,第19页,2),显然,r,=|,z,|=1,又,所以,练习：,写出 辐角和它指数形式。,解：,第20页,很多平面图形能用复数形式方程,(,或不等式,),来表 示,;,也能够由给定复数形式方程,(,或不等式,),来确定,它所表示平面图形,.,例,1,将经过两点,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,直线用复数形式方程来表示,.,解,经过点,(,x,1,y,1,),与,(,x,2,y,2,),直线可用参数方程表示为,所以,它复数形式参数方程为,z,=,z,1,+,t,(,z,2,-,z,1,).(,-,t,0,为半径圆,|,z,-,z,0,|,(,或,0|,z,z,0,|0,对任意,z,D,都有,z,G=,z|,|,z,|,R,，则,D,是有界,区域,；不然无界。,闭区域,区域,D,与它边界一起组成闭区域,第40页,第41页,2.,简单曲线（或,Jardan,曲线,),令,z,(,t,)=,x,(,t,)+,iy,(,t,),a,t,b,;,则曲线方程可记为：,z,=,z,(,t,),，,a,t,b,有限条光滑曲线相连接组成一条分段光滑曲线。,第42页,重点,设连续曲线,C,：,z,=,z,(,t,),，,a,t,b,，,对于,t,1,(,a,，,b,),t,2,a,b,当,t,1,t,2,时，若,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,),，,称,z,(,t,1,),为曲线,C,重点。,定义,称,没有重点,连续曲线,C,为简单曲线或,Jardan,曲线,;,若简单曲线,C,满足,z,(,a,)=,z,(,b,),时，则称此曲线,C,是简单,闭,曲线或,Jordan,闭,曲线。,z,(,a,)=,z,(,b,),简单闭曲线,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,),不是简单闭曲线,第43页,3.,单连通域与多连通域,简单闭曲线性质,任一条简单闭曲线,C,：,z,=,z,(,t,),，,t,a,，,b,，把复,平面唯一地分成三个互不相交部分：一个是有,界区域，称为,C,内部；一个是无界区域，称为,C,外部；还有一个是它们公共边界。,z,(,a,)=,z,(,b,),C,z,(,a,)=,z,(,b,),内部,外部,边界,定义,复平面上一个区域,B,，,假如,B,内任何简单闭曲线,内部总在,B,内,，就称,B,为单连通,域；非单连通域称为多连通域。,第44页,比如,|,z,|0,）是单连通；,0,r,|,z,|,R,是多连通。,单连通域,多连通域,多连通域,单连通域,第45页,1.,复变函数定义,与实变函数定义相类似,定义,1.5,复变函数,第46页,第47页,例,1,例,2,第48页,o,x,y,(,z,),G,o,u,v,(,w,),G,G*,w=f,(,z,),在几何上，,w=f,(,z,),能够看作：,定义域,函数值集合,2.,映射概念,复变函数几何意义,z,w=f,(,z,),w,第49页,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间,对应关系来表示两对变量,u,，,v,与,x,，,y,之间对应关系，方便在研究和了解复变,函数问题时，可借助于几何直观,.,复变函数几何意义是一个映射（变换）,第50页,例,3,解,关于实轴对称一个映射,见图,1-11-2,旋转变换,(,映射,),见,2,例,4,解,第51页,o,x,y,(z,),x,、,u,y,、,v,(,z,),、,(,w,),o,x,、,u,y,、,v,(,z,),、,(,w,),o,图,1-1,图,1-2,图,2,u,v,(,w,),o,第52页,例,5,o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),R=2,R=4,第53页,3.,反函数或逆映射,例,设,z,=,w,2,则称 为,z,=,w,2,反函数或逆映射,为多值函数,2,支,.,定义,设,w,=,f,(,z,),定义集合为,G,函数值集合为,G,*,则称,为,w,=,f,(,z,),反函数（,逆映射,）,.,第54页,例,已知映射,w=z,3,，求区域,0argz,在平面,w,上象。,例,第55页,1.,函数极限,定义,u,v,(,w,),o,A,x,y,(,z,),o,几何意义,:,当变点,z,一旦进,入,z,0,充分小去,心邻域时,它象,点,f,(,z,),就落入,A,一个预先给定,邻域中,1.6,复变函数极限和连续性,第56页,(1),意义中 方式是任意,.,与一元实变函数相比较要求更高,.,(2),A,是复数,.,2.,运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限关系：,定理,1,(3),若,f,(,z,),在 处有极限,其极限,是唯一,.,第57页,定理,2,以上定理用极限定义证,!,第58页,例,1,例,2,例,3,第59页,3.,函数连续性,定义,定理,3,第60页,例,4,证实,f,(,z,)=arg,z,在原点及负实轴上不连续。,证实,x,y,(,z,),o,z,z,第61页,定理,4,连续函数和、差、积、商,(,分母不为,0),仍为连续函数,;,连续函数复合函数仍为连续函数；,连续函数模也连续。,有界性：,第62页,第一章作业：,第一次：,p,10,1-3,（,1,）（,3,）（,5,）、,1-4,（,2,）（,4,）、,1-11,第二次：,p,20,1-17,、,1-23,、,1-26,1-30,（,1,）,第63页,