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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电路理论基础,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,9.9 状态方程,分析过渡过程方法,：,高阶微分方程,傅氏变换 拉氏变换,古典控制理论基础,经典法,变换法,时域,频域 复频域,适合用于,线性、非线性系统,单输入、单输出系统,联立一阶微分方程组,状态变量法,时域,当代控制理论基础,多输入，多输出系统,线性，非线性系统,第1页,9.9.1 基本概念,一、状态和状态变量,Y,(,t,)(,t,t,0,)能够确定,状态、状态变量、状态方程和输出方程。,状态(state),：电路在任何时刻所必需最少信息，它们和自该时刻以后输入(激励)足以确定该电路性状。,状态变量(state variable),：描述电路,一组最少数目独立变量,，假如某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路输入亦已知，则能够确定此时刻以后任何时刻电路响应。,X,(,t,0,),e,(,t,),t,t,0,已知,第2页,X,(,t,)=,x,1,(,t,)、,x,2,(,t,)、,x,3,(,t,),x,n,(,t,),T,状态变量在,t,=0,时值称为,初始状态,，即，,X,(0)=,x,1,(0)、,x,2,(0)、,x,3,(0),x,n,(0),T,也可选电荷,q,(,t,),和磁链,(,t,),作为,状态变量。,能完整、确定地描述动态电路时域性质最少变量为状态变量，状态变量含有独立性和完备性，若状态变量有,n,个，则,通常选电容电压,u,C,(,t,)和电感电流,i,L,(,t,)为状态变量。,一个电路中，状态变量个数等于独立储能元件,个数,n,。,n,=,m-p-q,第3页,解,例5,u,c,(0)=3V和,u,s,=10V，求,u,c,i,C,u,R,确定状态变量,u,C,2K,i,c,u,c,u,s,u,R,t=,0,1F,已知状态变量,u,C,在,u,c,(0)=3V和,u,s,=10V，能够确定,t,0电路响应,u,c,i,C,u,R,。,第4页,解,例6,输出,:,u,c,i,C,u,R,R,i,c,u,c,u,s,u,R,t=,0,若已知状态量,u,C,在,u,c,(,t,1,)=3V和,u,s,=10V，也能够确定,t,t,1,电路响应,u,c,i,C,u,R,。,可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当,t,=,t,1,时,u,C,，,i,L,和,t,t,1,后输入,u,S,(,t,)为已知，就能够确定,t,1,及,t,1,以后任何时刻系统响应。问题是确定状态变量及初始值。,第5页,状态方程(state equations),：,由状态变量及其一阶导数和激励描述电路动态过程一阶微分方程组。,二、状态方程(state equations),任意一个,状态变量一阶导数都能用状态变量和激励线性表示。,第6页,状态方程矩阵形式,设电路,输入向量,用,v,(,t,)表示，,v,(,t,)=,v,1,v,2,v,m,T,状态变量,用,x,(,t,)表示，,x,(,t,)=,x,1,x,2,x,n,T,状态变量,一阶导数,式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。,状态方程,为,状态方程特点：,联立一阶微分方程组,左端为一个状态变量一阶导数,(3)右端为状态变量和输入量线性表示,(4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数,第7页,状态方程普通矩阵形式,n,n,n,m,系数矩阵由电路结构和参数,第8页,三、输出方程,特点,：(1)代数方程；,(2)输出量用状态变量和输入量线性表示。,R,u,L,C,u,S,(,t,),+,u,C,i,C,u,R,+,+,+,L,i,L,i,L,2,输出方程,由状态变量和输入表示输出量方程,设输出向量用,y,(,t,)表示，输出方程,普通形式,为,式中，C、D为系数阵，由电路结构和参数确定。,例7,输出,:,u,L,i,C,u,R,i,R,方程,第9页,17.2 状态方程列写,1、直观编写状态方程,R,i,L,u,c,u,s,u,R,t=,0,u,L,选电容电压,u,c,(,t,)和电感电流,i,L,(,t,)为,状态变量,用一阶方程来描述电路动态过程，一阶微分方程为,简化，写成矩阵形式,第10页,例8,列写,状态方程。,解,选,u,C,i,L,为状态变量,列微分方程,R,u,L,C,u,S,(,t,),+,u,C,i,C,u,R,+,+,+,L,i,L,i,R,2,整理得,状态方程,第11页,特点：,左端为状态变量一阶导数列向量；,(2)右端含状态变量列向量、输入量列向量和系数矩阵,；,整理为矩阵形式,系数矩阵,状态变量,输入量,第12页,上例中也可选,u,C,和,d,u,C,/d,t,为状态变量,R,u,L,C,u,S,(,t,),+,u,C,i,C,u,R,+,+,+,L,i,L,i,L,2,令,x,1,=,u,C,x,2,=d,u,C,/d,t,即,则,x,1,x,2,第13页,(2)普通选择,u,C,和,i,L,为状态变量，也常选,和,q,为状,态变量。,(3)状态变量选择不唯一。,小结,状态变量和储能元件有联络，状态变量个数,等于独立储能元件个数。,第14页,选,u,C,i,1,i,2,为状态变量,例9 编写状态方程,解,u,C,R,1,+,u,S,C,i,S,i,R,R,2,i,2,L,2,L,1,+,i,1,i,c,为取得d,i,L,/d,t,和d,u,C,/d,t,，需对仅连一个电容节点用KCL，对只含一个电感回路用KVL,第15页,状态方程为,第16页,选,u,1,u,2,i,3,i,4,为状态变量,消去非状态量,i,5,i,6,i,5,=(,u,2,u,1,),/R,5,i,6,=,i,4,i,3,代入上式，整理,L,3,i,3,u,S,R,6,R,5,C,2,C,1,L,4,+,i,5,i,6,i,4,+,+,u,1,u,2,例10,列写图示电路状态方程。,解,第17页,将状态方程整理为矩阵形式为,第18页,二、叠加法编写状态方程,将电源、电容、电感均抽,到网络外。,(2)电容用电压源替换，电感,用电流源替换。,(3)用叠加定理求,i,C,u,L,。,则,u,S,、i,S,、u,C,、i,L,共同作用下,i,C,u,L,i,C,u,L,为：,i,C,=a,11,u,C,1,+a,12,i,L,+,b,11,u,S,+b,12,i,S,u,L,=a,21,u,C,1,+a,22,i,L,+,b,21,u,S,+b,22,i,S,i,L,+,u,C,u,C,u,S,R,电阻网络,+,i,S,+,i,L,第19页,例11,设,u,C,1、,u,C,2、,i,L,为状态变量,(1),u,C,1,单独作用,i,L,=,0,，i,S,=,0,，u,S,=,0,u,C,2,=,0,解,求：,i,C,1,，i,C,2,u,L,。,列写图示电路状态方程,分量！,i,S,R,1,R,2,u,S,u,C,1,u,C,2,i,C,1,i,C,2,L,u,L,i,L,+,+,+,+,R,1,R,2,u,C,1,i,C,1,i,C,2,u,L,+,+,第20页,(2),u,C,2,单独作用(,i,L,=,0,，i,S,=,0,，u,S,=,0,u,C,1,=,0),(3),i,L,单独作用(,i,S,=,0,，u,S,=,0,u,C,1,=,0,，u,C,2,=,0),R,1,R,2,u,C,2,i,C,1,i,C,2,u,L,+,+,R,1,R,2,i,C,1,i,C,2,u,L,i,L,+,第21页,(4),u,S,单独作用(,i,S,=,0，,i,L,=,0,u,C,1,=,0，,u,C,2,=,0),(5),i,S,单独作用(,u,S,=,0，,i,L,=,0,u,C,1,=,0，,u,C,2,=,0),R,1,R,2,u,S,i,C,1,i,C,2,u,L,+,+,i,S,R,1,R,2,i,C,1,i,C,2,u,L,+,第22页,u,C,1,u,C,2,i,L,u,S,i,S,(6)整理成标准形式,u,S,、i,S,、u,C,、i,L,共同作用下,i,C,u,L,为：,第23页,(1)对电容节点列KCL方程，,对电感回路列KVL方程,(2)用叠加法消去非状态量,u,R,1，,u,R,2,0.6,0.4,0.6,0.4,1.2,1.2,1.2,1.2,u,C,i,L,1,i,L,2,u,S,(,t,),u,R,1,u,R,2,例12,u,R,1,=,0.6,u,C,1.2,i,L,1,+1.2,i,L,2,+0.6,u,S,(,t,),u,R,2,=,0.4,u,C,+1.2,i,L,1,1.2,i,L,2,+0.4,u,S,(,t,),+,u,S,(,t,),2F,+,u,C,3,3,H,i,L,1,u,R,1,+,2,4,H,i,L,2,u,R,2,+,第24页,=,0.2,u,C,+0.6,i,L,1,+0.4,i,L,2,+0.2,u,S,(,t,),.,3,i,L,1,=,0.6,u,C,1.2,i,L,1,+1.2,i,L,2,+0.6,u,S,(,t,),2,u,C,=,i,L,1,0.2,u,C,0.4,i,L,1,+0.4,i,L,2,+0.2,u,S,(,t,),.,4,i,L,2,=,0.4,u,C,+1.2,i,L,1,1.2,i,L,2,+0.4,u,S,(,t,),.,u,R,1,=,0.6,u,C,1.2,i,L,1,+1.2,i,L,2,+0.6,u,S,(,t,),u,R,2,=,0.4,u,C,+1.2,i,L,1,1.2,i,L,2,+0.4,u,S,(,t,),将,代入,得,第25页,三、系统法编写状态方程,1.,选择一组,独立状态变量,，通常取独立电容电压和电感电流。,2.选择一树T,，标准为,（1）电容支路、电压源支路为树支；,（2）部分电阻支路为树支；,（3）电感支路和电流源支路为连支,（4）部分电阻支路为连支；,3.,列写状态方程,：,（a）对只含一个独立电容节点或割集由,KCL列对应电流方程；,第26页,（b）对只含一个独立电感基本回路由KVL列写电压方程 （应包含尽可能少非状态变量）；,（c）消去所列方程中出现非状态变量：对不含独立电容节点或割集由KCL列方程；对不含独立电感回路由KVL列方程。,（3）求解状态方程得到状态变量解。,（4）列输出方程并由步骤(3)中得到状态变量求解输出变量。,第27页,i,S,R,1,R,2,u,S,u,C,1,u,C,2,i,C,1,i,C,2,L,u,L,i,L,+,+,+,+,i,1,i,2,例13,列写状态方程,解,1.,选状态变量为,u,C,1,、,u,C,2,、,i,L,2.,选状态变量为,i,C,1,、,i,C,2,、,i,L,支路为树支,3.,列写状态方程,对仅含电容支路割集列KCL方程,i,1,i,c,2,i,s,i,L,i,c,1,i,2,第28页,对仅含电感支路回路列KVL方程,消去所列方程中出现非状态变量,i,2,i,S,R,1,R,2,u,S,u,C,1,u,C,2,i,C,1,i,C,2,L,u,L,i,L,+,+,+,+,i,1,i,2,i,1,i,c,2,i,s,i,L,i,c,1,i,2,第29页,第30页,方程矩阵形式为,第31页,列出图示电路状态方程和以节点电压为输出变量输出方程。其中C,2,=0.5F，C,3,=C,4,=0.1F，L,7,=2H，L,8,=1H，G,1,=1S，R,6,=1,。,4,0,1,2,3,4,5,6,7,9,8,0,C,2,C,3,C,4,L,7,L,8,R,6,G,5,u,s1,i,s9,例14,解,选择电容电压 和电感电流,i,L,7,、,i,L,8,为,状态变量，,第32页,画出特有树T1,2,3,4,5 对由树支2、3、4组成基本割集2,7、3,6,7、4,6,8,9依据KCL分别列方程，有：,第33页,状态方程为,第34页,令,，,则有,第35页,节点电压分别为,整理并写成矩阵形式输出方程为,第36页,9.8.3 状态方程求解,时域法,频域法,状态方程标准形式为,解析法,数值法,其中为,A,、,B,常数矩阵，,X,、,V,是,t,函数,两边取拉氏变换，得,对上式作拉氏反变换，得,单位阵,第37页,例14.,用状态变量法求开关合上后,u,L,(,t,),。,解,先列状态方程，求状态量,u,C,，,i,L,。,u,C,i,L,u,L,20,u,C,20V,i,L,0.2H,0.5F,1,W,u,C,+,+,+,u,L,S,第38页,A,B,备忘,第39页,反变换 得,第40页,