矩阵多项式与多项式矩阵.doc

§8矩阵多项式与多项式矩阵
设A是n阶阵，则为矩阵A的特征多项式
事实上，因此有
一、Hamilton-Cayley Th（哈密顿—开莱）
Th2.每个n阶矩阵A，都是其特征多项式的根，即
（矩阵）
注：该定理旨在用于：当一个n阶矩阵的多项式次数高于n次时，则可用该定理将它化为次数小于n的多项式来计算。
eg1.设试计算
解：A的特征多项式为

取多项式

余项
由上定理
Df2.一般地，设是多项式，A为方阵，若，则称是矩阵A的零化多项式。
根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即
Df3.设A是n阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式，称为A的最小多项式。
显然：①矩阵A的零化多项式都被其最小多项式整除。
②矩阵A的最小多项式是唯一的
Th3.矩阵A的最小多项式的根必是A的特征根；反之，A的特征根也必是A的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。
由此可得，求最小多项式的一个方法：
设，其所有不同的特征值为，则其特征多项式为
则A的最小多项式必具有如下形式：

其中
eg2.求的最小多项式
解：
的最小多项式,只能是：
,或，,及
经计算可知：是A的最小多项式，由此可得：
Th4.若A的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。
下面定理给出了求最小多项式的另一种方法：
Th5.设A是n阶矩阵，是特征矩阵的n-1阶行列式因子，则A的最小多项式为——n阶不变因子。
eg3.求的最小多项式

二、多项式矩阵：——在线性控制系统理论中有着重要的应用。
Df1.称为矩阵，或多项式矩阵，其中是的多项式。
Df2.若n阶多项式矩阵的行列式（非零多项式），则称是满秩的（秩=n）或非奇异的。
Df3.若使，则称是可逆的，或称是单模矩阵，记为。
注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。
Th1.n阶多项式矩阵可逆为非零常数。
注：也可象A一样，进行初等变换。
①互换的任意两行（列）
②以非0数c(乘以的一行（列）
③以多项式乘的某一行（列）并加到另一行（列）
Df4.由单位阵E，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。
Df5.多项式矩阵称为与等价，若经过有限次初等变换能变为
记为
亦具有自反性，对称性，传递性。
Th2.对任一非零多项式矩阵，有：

其中是的秩，是首项系数为1的多项式，且

称为的更密斯（Smith）标准形，称为的不变因子。
同数字矩阵一样，也可以定义的k阶行列式因子与初等因子。
eg1.求多项式矩阵：
的Smith标准形。
解：利用初等变换可得：

且有,,
Th3.若，则与必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。
Th4. 与具有相同的行列式因子，或不变因子。
利用多项式矩阵与Smith标准形等价还可以求出一个矩阵A的Jordan标准形。
eg2.求：的Jordan标准形。
解：

初等因子为，故

由上述重要结论：，——的主要理论依据。
§9.矩阵的分解
Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积，即。
若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵，非奇异矩阵，单位上三角矩阵的乘积，即。
实对称（正定）矩阵可分解成，其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。
实对称（正定）矩阵可分解为，其中为正交矩阵。
若为矩阵，则存在酉矩阵，使。其中。
若为非奇异的阶复矩阵，则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵，使。
（舒尔）。若为非奇异的阶实矩阵，则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵，使。
本定理称为矩阵的分解。
设求的分解。
解：是非奇异的阶实矩阵。
由知：存在分解。