1、Yunnan,University,5.曲面的切平面与法线,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,第1页,第2页,从而曲面在 点切平面方程为,因为 任意性，可见曲面上过 任一条曲线 在该点切线都与 正交，所以这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点切平面，而 就是切平面法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,第3页,过 点与切平面垂直直线，称为曲面在 点法线，其方程为,该法线一组方向数为：,第4页,总而言之若曲面方程为,则该曲面在 点切平面方程为
2、过 点法线方程为,第5页,设 分别为曲面在 点法线与 轴正向之间夹角，那末在 点法线方向余弦为,第6页,若曲面方程为,轻易把它化成刚才讨论过情形：,于是曲面在 （这里 ）点切平面方程为,法线方程为,第7页,若曲面方程为参数形式：,假如由方程组 能够确定两个函数：,于是能够将 看成 函数，从而能够将问题化为刚才已经讨论过情形。,代入方程 ，得,所以需分别计算 对 偏导数。,第8页,将 分别对 求导，注意到 为,函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,第9页,法线方程,于是曲面在 点切平面方程为,第10页,例 1 求球面 在点 切平面及法线方程.,解,设,则,所以在点 处 球面切平面方程为,法线方
3、程,第11页,曲面夹角,两个曲面在交线上某点处两个法线夹角称为这两个曲,面在该点夹角。,假如两个曲面在该点夹角等于 90 度，则称这两个曲面在,该点正交。若两曲面在交线每一点都正交，则称这两曲,面为正交曲面。,例 2 证实对任意常数 ，球面 与锥,面 是正交。,第12页,即,证实,球面 法线方向数为,锥面 法线方向数为,在两曲面交线上任一点 处，两法向量内积,因 在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥面正交。,第13页,解,切平面方程为,法线方程为,第14页,解,令,切平面方程,法线方程,第15页,解,设 为曲面上切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,第16页,因为 是曲面上切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,第17页,第18页,第19页,第20页,第21页,第22页,第23页,
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