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波利亚 - 怎样解题
    波利亚1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位
。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧为一位杰出的数学家。
    波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。
    波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
    波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？......”
    波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。
    波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学生同样也是非常需要的和有益的.
第二部分怎样解题——一段对话
1．熟悉问题
我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始。我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好准备去重新联想与问题有关的各点。
2．深入理解问题
我应该从哪儿开始?还是从问题的叙述开始。当你对问题的叙述已如此清楚并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它完全忘掉时，你就可以开始下面的工作了。我能做什么?先把问题的主要部分剖析出来。因为前提与结论是“求证题”的主要部分。未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把问题中的主要部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。这么做，我能得到什么好处?你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节。
3．探索有益的念头
应该从哪儿开始?从考虑问题的主要部分开始。当主要部分能很清楚地排列出来，想得明明白白(这应归功于你前面的工作)并且也记得住时，这时开始做下一步。怎样进行?从各个方面来考虑你的问题，找出与你现有知识有关之处。从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它。试着在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释。从你现有知识中找出与问题有关之处。试想过去在类似的情况下有什么曾帮过你的忙。在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东西中，努力找出有用的东西来。能找出什么?一个有用的念头，也许是个决定性的念头，它能使你一限看出解决问题的途径。念头有什么用?它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地向你建议该怎么做。念头多多少少还是完整的。如果你有一个念头，你就够幸
运的了。碰上一个不完整的念头怎么办?应该加以考虑。如果它看来有好处，就应该多考虑一会儿。如果它看来是可靠的，你应当确定它能引导你走多远，并重新考虑一下形势。由于这个有益的念头，情况已经变化了。你要从各个方面来考虑新形势并找出它与你现有知识之间的联系。再次这样做，还能得到什么好处?如果你走运的话，你或许能找到另一个念头。也许下一个念头会引导你去解决问题。也许在下一个念头以后，你还需要几个有益的念头。也许有些念头会把你引入歧途。无论如何，你应当感谢所有的新念头，感谢那些次要的念头，感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊念头得以纠正的补充性念头。即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头，但如果你对问题的概念更完全了，或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应当表示感谢。
4．实现计划
应该从哪儿开始?从引导到解决问题的思路开始。当你感到你已抓住主要的联系，并且自信能提供可能需要的次要细节时，就开始。怎幺做?你对问题应抓得很有把握。详细地进行你以前认为可行的全部代数或几何运算。用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性，或者，如果你能够的话，两种方法都用。如果你的问题很复杂，你可以分成“大”步骤和“小”步骤，每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤，以后再检验小步骤。这样做，我能有什么好处?这样提出的解，每个步骤无疑都是正确的。
5．回顾
应该从哪儿开始?从解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的，怎么做?从各个方面考虑这个解，找出与你已有知识之间的联系。考虑解的细节，并尝试使它们尽可能地简单；研究解答中较冗长的部分，使它们更短些；试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部分，尝试去改进整个解，使它直观，使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你解题的方法，尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题。总结所得结果并试着把它用于其他的问题。这样做，我能有什么好处?你可能找出一个新的更好的解，你可能发现新的有趣的事实。无论如何，如果你用这方式养成研究与总结你的解的习惯，你将获得某些井然有序的，便于应用的知识，并且你将会提高你解题的能力。
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