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课时作业8辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法时间：45分钟分值：100分 一、选择题(每小题6分，共36分)1下列各组数的最大公约数不正确的是()A16和12的最大公约数是4B78和36的最大公约数是6C85和357的最大公约数是34D105和315的最大公约数是105解析：用更相减损术求它们的最大公约数：(85,357)(85,272)(85,187)(85,102)(85,17)(68,17)(51,17)(34,17)(17,17)，所以85和357的最大公约数是17.答案：C2用“辗转相除法”可求得21672,8127的最大公约数是()A2709B2606C2703D2706解析：用辗转相除法转化解法如下(21672,8127)(5418,8127)(5418,2709)，可见5418是2709的倍数，故所求最大公约数是2709.答案：A3用“更相减损术”可求得459与357的最大公约数是()A3 B9 C17 D51解析：459357102,357102255,255102153,15310251.1025151，所以459和357的最大公约数是51.答案：D4用秦九韶算法计算多项式f(x)1235x8x26x45x53x6在x4时的值时，v3的值为()A144 B136 C57 D34解析：根据秦九韶算法多项式可化为f(x)(3x5)x6)x0)x8)x35)x12.由内向外计算v03；v13(4)57；v27(4)634；v334(4)0136.答案：B5用秦九韶算法计算当x2时，f(x)3x37x29x5的值为()A39 B37 C59 D26解析：秦九韶算法求多项式的值时要先将多项式改写，然后由内向外逐层计算：f(x)(3x27x9)x5(3x7)x9)x5，令x2，由内向外依次得：v03，v132713，v2132917，v3172539，f(2)39.答案：A6如下的程序框图是古代一数学家的算法的程序框图，它输出的结果s代表()图1A一个数列的和B一个多项式系数的和C自变量取x0时，n次多项式函数的值D自变量取x0时，n个代数式的值解析：结合该程序框图及秦九韶算法求n次多项式的值的方法可知，该程序框图的作用是求一个n次多项式函数的值故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7117与182的最大公约数是_解析：本题采用辗转相除法，过程如下：(117,182)(117,65)(52,65)(52,13)，故最大公约数是13.答案：138用更相减损术求81与135的最大公约数时，要进行_次减法运算解析：辗转相减的过程如下：1358154,815427,542727要进行3次减法运算答案：39用秦九韶算法求多项式f(x)x55x410x310x25x1当x2时的值为_解析：先改写多项式，由内向外计算f(x)(x5)x10)x10)x5)x1，当x2时，v01，v1v0(2)53，v23(2)104，v34(2)102，v42(2)51，v51(2)11.故f(2)1.答案：1三、解答题(共49分)10(14分)用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果(1)294,84；(2)228,1995.解：(1)2948434284422即294与84的最大公约数是42.验证：294与84都是偶数可同时除以2，即取147与42的最大公约数后再乘以2.14742105，1054263，634221，422121，294与84的最大公约数为21242.(2)19958228171228117157171357057就是228和1995的最大公约数验证：1995228176717672281539153922813111311228108310832288558552286276272283993992281712281715717157114114575757570228与1995的最大公约数是57.11(15分)用秦九韶算法求多项式f(x)x72x63x34x21当x2时的函数值解：先将多项式f(x)进行改写：f(x)x72x63x34x21(x2)x0)x0)x3)x4)x0)x1，由内向外逐层计算v01，v1v0xa61220，v2v1xa50200，v3v2xa40200，v4v3xa30233，v5v4xa23242，v6v5xa12204，v7v6xa04219，故f(2)9.12(20分)现有长度2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大且不浪费材料？解：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数；要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数用“等值算法”求得2.4和5.6的最大公约数：(2.4,5.6)(2.4,3.2)(0.8,2.4)(0.8,1.6)(0.8,0.8)因此将正方体的棱长设计为0.8 m时，体积最大且不浪费材料