数学教案-切线长定理.docx

数学教案－切线长定理
1、教材分析 （1）学问构造

（2）重点、难点分析
重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次表达了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等供应了理论依据，它属于工具学问，常常应用，因此它是本节的重点．
难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的学问，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把学问连贯起来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自主观看、猜测、证明，并深刻剖析切线长定理的根本图形；对重要的结论准时总结；
（2）在教学中，以“观看——猜测——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
教学目标
1．理解切线长的概念，把握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培育学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用学问解题的力量，培育数形结合的思想．
3．通过对定理的猜测和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的敏捷运用是教学难点
教学过程（）设计:
（一）观看、猜测、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观看
利用电脑变动点P 的位置，观看图形的特征和各量之间的关系．
3、猜测
引导学生直观推断，猜测图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜测，形成定理．
猜测是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出帮助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：依据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的根本图形讨论

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C
(1)写出图中全部的垂直关系；
(2)写出图中全部的全等三角形；
(3)写出图中全部的相像三角形；
(4)写出图中全部的等腰三角形．
说明：对根本图形的深刻讨论和熟悉是在学习几何中关键，它是敏捷应用学问的根底．
（二）应用、归纳、反思
例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，
A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作帮助线AB.
从结论想，要证AC∥OP，假如连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．
证法一．如图．连结AB．
　PA，PB分别切⊙O于A，B
　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
　∴ OP ⊥AB
　又∵BC为⊙O直径
　∴AC⊥AB
　∴AC∥OP (学生板书)
证法二．连结AB，交OP于D
　PA，PB分别切⊙O于A、B
　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
　∴AD＝BD
　又∵BO=DO
　∴OD是△ABC的中位线
　∴AC∥OP
证法三．连结AB，设OP与AB弧交于点E
　PA，PB分别切⊙O于A、B
　∴PA＝PB
　∴ OP ⊥AB
　∴ =
　∴∠C＝∠POB
　∴AC∥OP
反思：教师引导学生比拟以上证法，激发学生的学习兴趣，培育学生敏捷应用学问的力量．
　例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等．
（分析和解题略）
反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．
P120练习：
练习1　填空
如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________
练习2　已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长．
分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果．
（解略）
反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的学问，是一道综合性较强的计算题．通过对此题的讨论培育学生的综合应用学问的力量．
（三）小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的详细内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应留意哪些概念之间的区分?
2、归纳根本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）作业
教材P131习题7．4A组1．(1)，2，3，4．B组1题．
探究活动
图中找错
你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？
在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线．

提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上．
在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，则有
　a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c　　①
　c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b　　②
　a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b　　③
　将②代人①式得
　a = P1P3+（P2P3+ b）= P1P3+P2P3+ b，
　∴a-b= P1P3+P2P3
　由③得a-b= P1P2得
　∴P1P2= P2P3+ P1P3
　∴P1、P 2 、P3应重合，故图2是错误的．