1、 双曲线
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程及简单几何性质
图形
标准方程
性
质
范围
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
对称性
对称轴:x,y轴，对称中心：（0,0）
对称轴:x,y轴，对称中心：（0,0）
顶点
顶点坐标A1 ,A2
顶点坐标A1 ,A2
2、
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
, e∈
实虚轴长
实轴长|A1A2|=2a, 虚轴长|B1B2|=2b
a,b,c间
的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线
(1) 定义：实轴和虚轴长相等的双曲线，叫做等轴双曲线.其方程的一般形式.
(2) 性质：①渐近线方程：；②离心率.
4.有共同渐近线的双曲线方程
(1)当已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为.
(2)与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为.
基础巩固：
1.双曲线-=1的左、右焦点分别为F
3、1,F2,P在双曲线上,且|PF1|=2,则|PF2|等于___________.
2.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是________________.
3.已知方程+=1表示双曲线,则k的取值范围为____________________.
4.双曲线-=1的离心率e等于__________.
5.已知双曲线C:- =1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为____________.
6.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为 .
7.椭圆+=1与双曲线-=1有相同
4、的焦点,则m的值是___________.
8.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于_________.
例题讲解：
例1 双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,求双曲线的渐近线方程
变式训练：
设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,求双曲线的渐近线的斜率
例2 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x-y=
5、0,求双曲线的离心率.
变式训练：
过双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .
例3 已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
变式训练：
已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,且=(+).
(1)求直线
6、AB的方程;
(2)若过N的直线交双曲线于C,D两点,且·=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?
课后作业：
1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|=5,若实轴长为8,则△ABF2的周长为( )
(A)16 (B)18 (C)21 (D)26
2.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )
(A)1 (B)17
7、 (C)1或17 (D)以上答案均不对
3.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( )
(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3) (C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)
4.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a等于( )
(A)2 (B) (C) (D)1
5.以椭圆+=1的长轴端点为焦点,以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为_____________.
6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F
8、1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为_______________.
7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为_____________
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是 .
9.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为___________.
10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
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