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中考数学压轴题解析大集合 -

10.已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）解：∵二次函数的图象过点A（－3，6），B（－1，0）
x
O
y
得　　　　　　　　　解得
∴这个二次函数的解析式为：
由解析式可求P（1，－2），C（3，0
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°
又已知：∠DPC＝∠BAC　　　∴△DPC∽△BAC
∴　　易求
∴ ∴　　　∴
解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F.
亦可证△AEB∽△PFD、
∴.　　　　　　易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2
∴ ∴　　∴
（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，
∴MG＝MH＝OM
又∵且OM＋MC＝OC
∴
∴
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′
同理OM′＋OC＝M′C，
得 　　　　∴M′
即在x轴上存在满足条件的两个点.
M′
T
1
1
-1
-2
4
-3
2
3
0
5
6
E
-1
-2
2
3
A
C
x
y
B
D
M
F
S
G
H
P

11.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.
A
B
C
M
O
x
y
[解] （1），顶点坐标为（1，－4）.
（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，
∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），
∴ S△ACB＝×4×＝6，
而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、
作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，
∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.
（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，
有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，
∴ k＝，
∴ y＝ax2－2ax＋， ∴ .
记l与x轴交点为D，
若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，
∴ k＝－，a＝，
∴ 抛物线的解析式为.
若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，
∴ k＝－，a＝，
∴ 抛物线的解析式为.
②当抛物线开口向下时，同理可得
，.
12.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
[解] （1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点

解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线

（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（）
①当时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点
∴D'O⊥OD
∴∠DOA＝∠D'OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形

∴点D的纵坐标为

∴抛物线的解析式为
②当时，
同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线上时（如图2）

∵点B是⊙D的优弧上的一点

过点P作PE⊥x轴于点E

由解得：（舍去
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线上时（如图3）

同理可得，
由解得：（舍去）
∴点P的坐标为
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为
或

13.在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
（1）如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；
（2）若⊙经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。
[解] （1）如图1，过O作于G，则
设

（3，0）
AB是⊙的直径
切⊙于A，
在中

设直线AC的解析式为，则

直线AC的解析式为
（2）结论：的值不会发生变化
设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示

图2

则
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN
平分

的值不会发生变化，其值为4。
14.已知：O是坐标原点，P（m，n）m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋.
（1）当n＝1时，求点A的坐标；
（2）若OP＝AP，求k的值；
(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.
[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m
(1) 当n＝1时， s＝
∴ a＝＝
(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP
∴△OPA是等腰直角三角形
∴ m＝n＝
∴ 1＋＝·an
即n4－4n2＋4＝0
∴ k2－4k＋4＝0
∴ k＝2
解2：∵ OP＝AP PA⊥OP
∴△OPA是等腰直角三角形
∴ m＝n
设△OPQ的面积为s1
则：s1＝
∴ ·mn＝(1＋)
即：n4－4n2＋4＝0
∴ k2－4k＋4＝0
∴ k＝2
(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△OAP
设：△OPQ的面积为s1，则
＝
即： ＝
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
∴当n是小于20的整数时，k＝2.
∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋
又m＞0，k＝2，
∴ n是大于0且小于20的整数
当n＝1时，OP2＝5
当n＝2时，OP2＝5
当n＝3时，OP2＝32＋＝9＋＝
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是：
42＋、52＋、62＋、…、192＋
∵192＋＞182＋＞…＞32＋＞5
∴ OP2的最小值是5.

解2： ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋
＝n2＋
＝(n－)＋4
当n＝ 时，即当n＝时，OP2最小
又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5
∴ OP2的最小值是5.
解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△P AQ
＝
＝
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△P AQ
＝
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△OAP
∴ ＝
∴ OP2＝OQ·OA
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
15.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。

（2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。
（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。
QA
P
O
C（8，6）
B（18，6）
A（18，0）
x
y
（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。
[解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O，C
　　　设OC的解析式为，将两点坐标代入得：
　　　，，∴
　　　　∵A，O是轴上两点，故可设抛物线的解析式为
　　　再将C代入得：
∴
（2）D
（3）当Q在OC上运动时，可设Q，依题意有：
∴，∴Q，
当Q在CB上时，Q点所走过的路程为，∵OC＝10，∴CQ＝
∴Q点的横坐标为，∴Q，
（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为，则Q运动的路程为
△OPQ中，OP边上的高为：
梯形OABC的面积＝，依题意有：
整理得：　　∵△＝，∴这样的不存在
当Q在BC上时，Q走过的路程为，∴CQ的长为：
∴梯形OCQP的面积＝＝36≠84×
∴这样的值不存在
综上所述，不存在这样的值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积
16.已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在（2）条件下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.
[解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.
　　设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m　
又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴
A
·
B
C
D
E
F
G
M
x
y
O
∴，即x1·x2＝－m2　
∴－m2＝3m，解得　m＝0　或m＝－3　
而m＜0，故只能取m＝－3
这时，
故抛物线的顶点坐标为（，－4）
（2）解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），
C（0,－3），D（0， 3）
∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE
∵DE是⊙M的直径，
∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，
∴E点的坐标为（2，－3）
∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，
∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE
∵AC⊥CB，∴CB⊥DE
又FG⊥DE，　　∴FG∥CB
由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：
y＝－3　
可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5
故直线FG的解析式为y＝－5　
解法二：令y＝0，解－3＝0得
x1＝－，x2＝3
即A（－，0），B（3，0）
根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2，　 M（，0）
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3
∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。
而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC
∵DE⊥FG，　∴BC∥FG
∴∠EFM＝∠CBO＝30°
在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，
∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，
∴F点的坐标为（5，0）
在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×＝5
∴G点的坐标为（0，－5）
∴直线　FG的解析式为y＝－5　
（3）解法一：
存在常数k＝12，满足AH·AP＝12　
连结CP
由垂径定理可知，
∴∠P＝∠ACH
（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）
又∵∠CAH＝∠PAC，
∴△ACH∽△APC
∴　即AC2＝AH·AP　
在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12
A
·
B
C
D
E
F
G
M
x
y
P
H
O
（或利用AC2＝AO·AB＝×4＝12
∴AH·AP＝12　
解法二：
存在常数k＝12，满足AH·AP＝12
设AH＝x，AP＝y
由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP
即
化简得：xy＝12
即　AH·AP＝12