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中考总复习一：数与式

一、知识浅析
　　数与式的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，有着重要的教育价值.数与式的内容包括实数、整式和分式等知识.它们是表达与刻画数量之间的关系以及变化规律的数学工具，这部分内容极为突出地体现着其基础性与核心性.
　　“数”和“式”的本质意义都是用来表示数量和数量关系的；
　　教材中，“数”是沿着由“算术数”到有理数再到实数这样的系列扩展的，相应地，“式”是沿着由整式到有理式(引入分式)再到根式这样的系列扩展的.而两个系列之间，由于“用字母表示数”的生成过程是由“特殊”向“一般”发展，这便使两个系列之间具有良好的类比关系；
　　数和式的有关运算构成了这部分知识的核心内容.由于数和式是两个逐步扩张的知识系列，所以相关概念就比较多，其间的转化关系也比较多.其层层递进并形成新知识的逻辑思维过程也大量蕴涵其中.
　　“数与式”在初中数学中的地位主要体现在它的基础性和广泛的应用性上：
　　从内容构成来看，“数与式”不仅是方程(组)、不等式(组)、函数等知识表达和运算的基础，而且也是许多图形问题中有关数量表达与计算的基础；
　　从数学思想方法的角度来看，这部分知识所蕴含的思想方法对后继知识的学习具有十分重要的作用，如，转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、类比思想等对方程、不等式、函数的研究，以及几何和概率等内容具有重要的指导意义.此外，“数与式”这部分内容中所渗透的“数感”和“符号感”也是理解方程和函数意义的本质及进行相关运用的基础.

二、知识和考点分析
第一部分：实数
(一)解题方法和技巧
　　1.数形结合法去绝对值
　　解绝对值的计算问题时，首先要脱去绝对值符号，化成一般的实数计算.脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值定义脱去绝对值符号，而可以转化为去处理.
　　1．实数a、b、c在数轴上的点如图所示，
　　化简：.
　　解：原式.

　　2.比较实数大小时，要灵活选择以下几种常见的方法：
　　(1)数轴比较法；(2)绝对值比较法；(3)求差比较法；4)求商比较法；(5)倒数法；(6)中间值比较法；
　　(7)分子、分母有理化法；(8)平方法.

　　2．比较大小：与.
　　解：，.

(二)试题分类
　　1.有理数的运算
　　下列式子中结果为负数的是( ).
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
　　解：选C.

　　2.倒数、相反数、绝对值和数轴
　　(1)如图，点A、B在数轴上对应的实数分别为m、n，则A、B之间的距离是___________.(用含m、n的代数式表示).
　　解：.

　　(2)如图，数轴上点P表示的数可能是( ).
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
　　解：由于，所以选B.

　　3.无理数
　　的算术平方根是___________.
　　解：3.

　　4.实数的运算
　　(1)若，则的值是( ).
　　A.0 　　　B.1 　　　C. 　　　D.2007
　　解：根据数的非负性，可知，，于是.选C.

　　(2)计算：.
　　解：原式.

　　5.近似数、有效数字和科学记数法
　　北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持，据统计，某日北京申奥网站的访问人次达到了201 949，用四舍五入法取近似值保留两个有效数字，得( ).
　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.
　　解：选A.

　　6.实数综合与创新
　　(1)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大
　 　　的数学排列为：1，1，2，3，5，8，…，那么这列数得第8个数应该是___________.
　　解：从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，故第8个数为21.

　　(2)先阅读下列材料，再解答后面的问题.
　　材料：一般地，n个相同的因数相乘：.如，此时，3叫做以2为底8的对数，
　　　　　记为.
　　一般地，若(且，)，则n叫做以为底b的对数，记为(即).
　　如，则4叫做以3为底81的对数，记为(即).
　　问题：
　　①计算以下各对数的值：
　　　___________， _________， _________.
　　②观察①中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系
　　　式？
　　③由②的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
　　　___________(且，，).
　　④根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论.
　　解：①，，.
　　　　②.
　　　　③.
　　　　④设，，则，，
　　　　　于是.

第二部分：代数式
(一)解题方法和技巧
　　1.整体思想
　　就是把握条件和结论的关系，用整体的方法来处理问题，从而促进问题的解决.
　　1．已知x为实数，且，求的值.
　　解：设，则，所以，解得，.
　　　　因此，或.

　　2.从特殊到一般的思维意识
　　从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律.通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法是数学上常用的归纳法.
　　2．已知：，，，….若(、均为实数)，请推测___________，___________.
　　解：，.

(二)试题分类
　　1.整式
　　(1)若单项式与是同类项，则___________.

　　(2)下列计算中，正确的是( ).
　　A.　　　　 B.
　　C.　　　　　　 D.

　　解：(1).
　　　　(2)选D.

　　2因式分解
　　(1)分解因式：___________.
　　(2)因式分解：___________.
　　(3)把代数式分解因式，下列结果中正确的是( ).
　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.
　　解：(1).
　　　　(2).
　　　　(3)选A.

　　3.分式
　　(1)若分式的值为零，则x的值等于___________.
　　(2)化简：___________.
　　(3)如果，则___________.
　　解：(1)且，所以 .
　　　　(2).
　　　　(3)将代入，原式=.

　　4.代数式的值
　　(1)若，则的值为______
　　(2)若非零实数、()满足，，则___________.
　　(3)有一道题：“先化简，再求值：，其中“”.小亮同学做题时
　 　　把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回
　 　　事.
　　解：(1)2009.
　　　　(2)、是方程的两个不等实根，
　　　　　 因此.
　　　　(3)，
　 　　　　因此把“”错抄成了“”，并不影响的值，故结果仍然是正确的.

　　5.二次根式
　　(1)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( ).
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　　(2)估计的大小应( ).
　　A.在9.1～9.2之间　　　　 B.在9.2～9.3之间
　　C.在9.3～9.4之间 　　　　D.在9.4～9.5之间

　　解：(1)选C；(2)选C.

　　6.代数式的综合与创新
　　(1)已知，当时，；当时，；当时，；…；
　 　　则的值为___________.

　　(2)已知：m、n是两个连续自然数()，且，设，则( ).
　　A.总是奇数　　　　　　　　　　　 B.总是偶数
　　C.有时是奇数，有时是偶数 　　　　D.有时是有理数，有时是无理数

　　(3)任何一个正整数n都可以进行这样的分解：(s、t是正整数，且)，如果在n的所有
　 　　这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：.例如，
　 　　18可以分解成、、这三种，这时就有.给出下列关于的说法：
　 　　①，②，③，④若n是一个完全平方数，则；其中正确的说
　 　　法的个数是( ).
　　A.1 　　　B.2　　　 C.3　　　 D.4

　　(4)数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：.例如
　 　　把(3，)放入其中，就会得到.现将实数对(，3)放入其中得到实数m，再将实
　 　　数对(m，1)放入其中后，得到的实数是___________.
　　解：(1).
　　　　(2)可知，所以必为奇数.选A.
　　　　(3)正确的是①③④，选C.
　　　　(4)66.

数与式综合测试
一、选择题
　　1.一个代数式减去等于，则这个代数式是( ).
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　　2.下列去括号正确的是( ).
　　A. 　　B.
　　C.　　　　　D.

　　3.下列各组代数式中，属于同类项的是( ).
　　A. 与 　　　B. 与　　　 C.与 　　　D.p与q

　　4.下列计算正确的是( ).
　　A.　　 B.　　 C.　　 D.

　　5.a = 255，b = 344，c = 433，则 a、b 、c的大小关系是 ).
　　A.a＞c＞b　　　 B.b＞a＞c　 　C.b＞c＞a 　　　D.c＞b＞a

　　6.如果甲数为，甲数是乙数的倍，则乙数是( ).
　　A.　　　B.　　　 C. 　　　D.

　　7.一个两位数，十位数字是，个位数字是，如果把它们的位置颠倒一下，得到的数是( ).
　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.

　　8.如果，则下列等式成立的是( ).
　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.

　　9.设，都是实数，且，，则，的大小关系是( ).
　　A. 　　　B.　　　 C.　　　 D.

　　10.下列多项式属于完全平方式的是( )
　　A.x2-2x+4 　　　B.x2+x+ 　　　C.x2-xy+y2 　　　D.4x2-4x-1

　　11.若，则k的值为( ).
　　A. 2 　　　B.　　　 C. 1 　　　D. –1

　　12.若x2+mx+25 是一个完全平方式，则m的值是( ).
　　A.20 　　　B.10 　　　C. ± 20　　　 D.±10

　　13.若代数式，那么代数式的值是( ).
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　　14.如果，那么x的取值范围是( ).
　　A.x≥3　　　 B. x≤2　　　 C.x＞3 　　　D.2≤x≤3

　　15如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n盆花，每
　 　　个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为( ).

　　A.S=3n　　　　B.S=3(n-1)　　　　 C.S=3n-1　　　　 D.S=3n+1

二、填空题
　　1.计算 ：_________.
　　2.36 x4 y8 = (_________)2
　　3._________.
　　4.小明在文具店买了三支2B铅笔和五个练习本，2B铅笔每支x元，练习本每个y元，小明共花了_____元.
　　5.一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加，因库存积压，所以就按销售价的出售.则
　　　每台电视机的实际售价为_________.
　　6.如果与是同类项，则的值为_________，的值为_________.
　　7.若，则ab=_________.
　　8.0.0000057用科学记数法表示为_________.
　　9.三角形三边a=7，b=4，c=2，则周长是_________.
　　10.已知，求_________.
　　11.如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=_________.
　　12.把分解因式的结果是_______________________.
　　13.化简=_________.
　　14.在下面由火柴杆拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成：

　 　　通过观察可以发现，第个图形中有_________根火柴杆.
　　15.观察等式：，，，，….设表示正整数，请
　 　　用关于的等式表示这个观律为：_________.

三、解答下列各题
　　1.已知A=-4a3-3+2a2+5a，B=3a3-a-a2，求：A-2B.

　　2.已知x+y=7，xy=2，求：①2x2+2y2的值；②(x-y)2的值.

　　3.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板的面积.

　　4.已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2.
　　(1)求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；
　　(2)指出A与C哪个大？说明理由.

　　5.a、b、c为三边，利用因式分解说明的符号.

　　6.某餐厅中张餐桌可以坐人，有以下两种摆放方式：

　　一天中午，餐厅要接待位顾客共同就餐，但餐厅中只有张这样的餐桌，假设你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种拼接方式来摆餐桌？

参考答案
　　一、1.B　2.C　3.C　4.D　5.C　6.A　7.C　8.C　9.D　10.B　11.C　12.D　13.C　14.D　15.B

　　二、1.； 　　2.； 　　3.b； 　　　4.(3x+5y)；　　 5.0.875a元；　 6.2，3；
　　　　7.1；　　　 8.；　　9.；　10.； 　　　　11.5；　　　　 12.；
　　　　13.；14.3n+1　　　　　15..

　　三、1.-10a3+4a2+7a-3 　　　　2.(1)90 (2)41 　　　　3.ab
　　　　4.(1)B-A=(a-1)2+2＞0，所以B＞A；
　　　　　(2)C-A=(a+7)(a-3)，因为a＞2，所以a+7＞0；
　　　　　从而当2＜a＜3时，A＞C，当a=2时，A=C，当a＞3时，A＜C.
　　　　5.
　　　　6.两种摆放方式各有规律：
　　　　　第一种张餐桌可容纳人，第二种张餐桌可容纳：人，
　　　　　通过计算，第二种摆放方式要容纳人是不可能的，而第一种可以.
用心　爱心　专心