七年级数学轴对称与轴对称图形华东师大版知识精讲.doc

初一数学轴对称与轴对称图形华东师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
轴对称与轴对称图形

二、知识要点
1. 知识点概要
（1）轴对称图形概念；掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的性质特征；理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系.
（2）知道线段、角是轴对称图形，掌握线段的垂直平分线、角平分线的定义和性质，并学会应用它们的性质解决相关问题.
（3）熟练画出轴对称图形的对称轴. 能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形. 能设计简单的轴对称图案.
2. 重点难点
（1）重点：轴对称图形的概念；线段垂直平分线、角平分线的性质.
（2）难点：两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系；运用线段垂直平分线性质和角平分线性质解决问题.

三、考点分析
㈠　轴对称的有关概念
1. 轴对称图形
如果把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分完全重合，则该图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.
说明：轴对称图形的定义中有两层含义：①一个图形；②沿某条直线对折，两部分完全重合.
2. 轴对称
把一个图形沿着某一条直线翻折过去，若它能够与另一个图形重合，则这两个图形成轴对称. 这条直线叫对称轴，两个图形中的对应点叫对称点.
说明：轴对称的定义中也包含两层含义：①两个图形；②沿某条直线对折，两个图形能够完全重合.
3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系
它们的区别：①轴对称指两个图形的位置关系，轴对称图形指一个具有特殊形状的图形. ②成轴对称的两个图形的对称轴只有一条，两轴对称图形的对称轴最少是一条或更多条.
它们的联系：①定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合. ②若将轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两个部分关于这条直线成轴对称；反过来，若把两个成轴对称的图形看成一个整体，则它就是一个轴对称图形.
4. 轴对称的性质
①关于某条直线对称的两个图形的形状、大小完全相同.
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

㈡　简单的轴对称图形
线段和角是简单的轴对称图形. 它们的对称轴分别是线段本身所在的直线与线段的中垂线、角的平分线所在的直线.
1. 线段的垂直平分线
垂直平分线指垂直并且平分一条线段的直线，又称中垂线. 它的性质为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学符号语言表示该性质为：如图（1），因为点M在线段AB的垂直平分线上，所以MA=MB.

（1） （2）
2. 角的平分线
角的平分线将角分成两个相等的角.
角的平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
用数学符号语言表示该性质为：如图（2），因为点P在∠AOB的角平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE.
3. 与轴对称有关的画图题
根据轴对称的性质可以画出轴对称图形的对称轴；也可以画出某个图形关于对称轴对称的图形；还可以按要求画出符合要求的轴对称图形.

【典型例题】
例1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

分析：判断一个图形是否是轴对称图形，依据是轴对称图形的定义，一般只要根据定义进行观察，必要时用对折的方法检验.
答案：D

例2. 如图所示，四边形ABCD和四边形 A1B1C1D1关于直线MN对称，图中有许多相等的角和相等的线段，试写出其中5对相等的角和5对相等的线段.

分析：根据轴对称的定义可知，成轴对称的两个图形能完全重合，这样可以找到对应的角相等、对应的线段相等.
解：相等的五对角：∠DAB＝∠D1A1B1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∠CDA＝∠C1D1A1，∠AOB＝∠A1O1B1；
相等的五对线段：AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1， DA＝D1A1，AC＝A1C1. （解决本题的依据是成轴对称的图形的对应线段相等，对应角相等. 一般先找对应点，再找对应线段，这里点A、B、C、D、O依次与点A1、B1、C1、D1、O1对应，再找对应角. 想想看，你最多能写出多少对？）

例3. 在图中标出点A、B、C关于直线的对称点.

（1） （2）
分析：抓住两图形沿着直线l对折后互相重合的点，即为对称点.
答：见图（2）.

例4. 图中哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出对称轴.

分析：判别轴对称图形的方法：采用折叠思想与轴对称图形的概念. 画对称轴通常作对称点连线的垂直平分线，但有时不止一条对称轴，切勿遗漏.
解：轴对称图形有①②③④⑥，对称轴如图中的虚线.

例5. 如图，下列图形都是轴对称图形，其中一个与众不同的是（　　）

分析：这四个都是轴对称图形，但A、B、D都不止一条对称轴，唯独C只有一条对称轴.
解：选C.

例6. 如图，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l的对称图形.

分析：画轴对称图形关键是画某些特殊点（如线段的端点，角的顶点，转折点等），因此只要作A、B、C三个特殊点.
解：①画出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′；②连结A′B′、B′C′、A′C′.
△A′B′C′即为△ABC的关于直线l对称的三角形.

例7. 如图，P、Q是∠AOB的边OA上的两点，试画出一个点M，使点M到P、Q两点的距离相等，并且使点M到∠AOB的两边的距离也相等.

分析：所求的点M要同时满足两个条件，通常可以先画出各自满足一个条件的图形，这两个图形的公共点即为所求.
解：分别作∠AOB的平分线和线段PQ的垂直平分线，两条直线的交点M即为所求的点.

例8. 如图，在直线l上求作一点M，使：（1）MA＝MB；（2）MA＋MB最小.

分析：（1）要使MA＝MB，即M要在AB线段的中垂线上；又要求在直线l上取一点M，故M为直线l与AB线段的中垂线的交点. （2）要使MA＋MB最小，涉及线段之和最小，之差最大，一般用到三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 两点之间，线段最短等知识.
解: （1）作线段AB的中垂线与l相交于点M.
∵M是线段AB中垂线上的点，∴MA＝MB
∵M在l上， ∴点M满足要求. 如图（1）.

（1） （2）
（2）作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′交l于点M，连结MB，则MA＋MB最小. 如图（2）.
在直线l上另取一点N，连结AN、BN、B′N，因直线l是点B、B′的对称轴，点M、N在对称轴上.
∴BM＝B′M，BN＝B′N
∴ AM＋BM＝AM＋B′M＝AB′
而在△AB′N中，AN＋B′N＞AB′
即AN＋BN＞AB′，
∴AN＋BN＞AM＋BM
∴MA＋MB最小.

例9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC＝21，求△BCN的周长.

分析：因为MN是AB的垂直平分线，所以有BN＝AN，于是△BCN的周长可转化为线段BC与AC的和.
解：因为MN是AB的垂直平分线，所以BN＝AN.
则△BCN的周长＝BC＋CN＋BN
＝BC＋CN＋AN＝BC＋AC
＝21＋32＝53.

例10. 如下图所示，在△ABC中，∠C＝ 90°，BD是角平分线，交AC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝3DE. AD和3DC是什么关系?为什么?

分析：可以先用刻度尺测量一下，估计AD和3DC的数量关系：AD=3DC，然后只要能说明DE=CD就可以了.
解：AD=3DC.
理由：因为∠C＝ 90°，即DC⊥BC （垂直的定义）
又因为DE⊥AB，BD是角平分线 （已知）
所以DE=DC （角平分线上的点到角的两边的距离相等）
因为AD＝3DE （已知）
所以AD=3DC （等量代换）

例11. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形（即长方形）空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在下面矩形中画出你的设计方案.
分析：要设计一个轴对称图形，先作出长方形本身的（所有）对称轴，在其中一条对称轴一侧设计一个图形，根据轴对称性质再画出另一半.
解：如下图. （仅供参考）

五、本讲数学思想方法的学习
1. 在画图形的对称轴时，要充分利用轴对称的特征，已知两图形作对称轴要找一对对称点连结作中垂线；已知图形和对称轴作对称图形要作每个关键点关于对称轴的对称点，再连结对称点得其对称图形；补全图形，有对称轴时和前面的方法一样，没有对称轴时，先找对称轴再作图形；找同时满足两个条件的点，可以先画出各自满足一个条件的图形，这两个图形的公共点即为所求点；设计图案时先画出组成图案的基本图形，再依据对称轴作出它们的对称图形.
2. 生活中许多图形美丽的图案都可以通过折叠的方式得到它的对称性，如线段和角等图形的轴对称性. 这种通过变换的方法可以用来探索其相关性质. 在探索的过程中可以将观察操作和归纳推理相结合，逐步培养逻辑推理能力，另外也有利于培养归纳能力和数学语言表达能力.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. 直角三角形； B. 长方形； C. 任意三角形； D. 有一角为60°的直角三角形
2. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A. 圆 B. 正方形 C. 等腰直角三角形； D. 有一角为60°的等腰三角形
3. 如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（ ）
A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①②④ D. ②⑤⑥

*4. 一图章上刻有 ，那么印在纸上的数字是（ ）
A. 819 B. 918 C. 816 D. 618
*5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC，BC=30，BD:CD=3:2，则点D到AB 的距离是（ ）
A. 18 B. 12 C. 15 D. 不能确定

6. 如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AB=10cm，则AC=_______cm.

7. 在大写英文字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、 J 中属于轴对称图形的是______.
8. 如图，已知∠O=35°，CD为OA的垂直平分线，则∠ACB的度数为_______.

9. 下列各图中，画出你认为是轴对称的图形的对称轴.

10. 已知△ABC中，ABB于D、C，P1P2=6cm，则△PCD的周长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 12cm D. 无法确定

12. 如图，已知△ABC，以AC的中垂线为对称轴，作一个三角形与它对称.

13. 如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要， 现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等 ，请画出变电站的位置（用P点表示），并简单说明理由.

*14. 如图，要在两条街道AB、CD上设立两个邮筒，M处是邮局， 邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，则邮筒应设在何方， 方能使邮递员所走的路程最短?

15. 如图，在△ABC中，AB的中垂线交AC于点E，若AE=2，则B、E两点间的距离是（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

16. 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机， 以下来自现实生活中的图形都有圆，（如图A），它们看上去多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称的性质，请你在下面的两个圆（如图B）中分别画出与图A不重复的轴对称图形， 但要尽可能准确美观.

【试题答案】
1. B 2. A 3. B 4. B 5. B
6. 10
7. A、C、D、E、H、I
8. 70°
9. 略
10. B
11. B
12. 略
13. 略
14. 提示：作M关于AB的对称点M＇，作M关于CD的对称点M＂，连结M＇M＂交AB于P1，交CD于P2，则P1，P2就是邮筒设立处.
15. B
16. 略