1、高 等 数 学
第四次课
教学内容：无穷小，无穷大，极限运算法则
教学目的：（1）了解无穷小概念及其与函数极限的关系
（2） 了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系
（3） 熟练掌握极限运算定理及其用法
教学重点：无穷小的概念，极限四则运算
教学难点：无穷小的概念，极限四则运算
教学关键：极限四则运算的运用
教学过程：
一、无穷小与无穷大
1、无穷小：
定义1、如果函数当为当时的无穷小。
如为无穷小
如为无穷小
说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量
2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关
定理1、在自变量的同一变化过程中，函
2、数具有极限A的充分必要条件是=A+，其中是无穷小。
2、无穷大
如果当时，无限增大，则称函数是当时的无穷大量。
定义2、设函数在的某一去心邻域有定义（或大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。
注意：无穷大与很大数的区别
3、 无穷小与无穷大的关系
定理2：在同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小：反之，如果为无穷小，且，，则为无穷大
例：当时，为无穷小，为无穷大。
说明：此定理只使用于同一变化过程。无穷大不是数，不可与很大的数混为一谈。
例：下列函数在什么情况下为无
3、穷小？在什么情况下为无穷大？
1、 解：时为无穷小，在时为无穷大。
2、 解：时为无穷小，为无穷大，为无穷大
3、 解：为无穷小，为无穷大。
二、极限运算的法则：
定理1、有限个无穷小的和也是无穷小
定理2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1、常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2、有限个无穷小的乘积也是无穷小
定理3、如果，，那么
（1）=AB
（2）
（3）若又有B，则
推论1、如果存在，而c为常数，则
推论2、如果存在，而n是正整数，则
定理4设有数列{}、{}，如果
那么：
（1）
（2）
（3）当=
定理5如果，而，，那么 ab
例1、
一般地，设有多项式：
则有：
即：
同理可得：
例2、求
分析：求有理函数（多项式）当时的极限时，直接把代入多项式即可
此题直接代入为
例3、求
解：=
例4、求
解：先用除分母和分子，然后求极限，得
结论：
例5、求
解：有界量与无穷小量的乘积任为无穷小量，所以原极限为0
例6、
解：故原极限为
例7、
例8、
例9、
求极限的类型主要有：
例10、
例11、
定理6、复合函数的求导法则
设函数是由函数复合而成的，的某去心邻域内有定义，若，且存在
则
徐屹 第 4 页 2024-11-24
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