第3章 应变状态分析.doc

第三章 应变状态分析
知识点
位移与变形
正应变
纯变形位移与刚性转动位移
应变分量坐标转轴公式
主应变齐次方程组
体积应变
变形协调方程
变形协调方程证明
变形与应变分量
切应变
几何方程与应变张量
位移增量的分解
应变张量
应变状态特征方程
变形协调的物理意义
变形协调方程的数学意义
多连域的变形协调
一、内容介绍
本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。

对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点
1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量 几何方程
学习思路:
由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。根据正应变和切应变定义，不难得到应变与位移的关系－几何方程，或者称为柯西方程。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。几何方程可以表示为张量形式，应该注意的是，正应变与对应应变张量分量相等；而切应变等于对应的应变张量分量的两倍。
几何方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。
学习要点：
1、位移函数；2、变形与应变分量；3、正应变表达式；4、切应变分量；5、几何方程与应变张量。
1、位移函数
由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，即产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
第二种位移是弹性体形状的变化， 位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形。
一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。当然，对于弹性力学，主要是研究变形，因为变形和弹性体的应力有着直接的关系。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图所示。在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，z的单值连续函数。设MM'=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。则
u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z），
v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）
w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）

显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。
2、变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。
对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。

对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z坐标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
假设分别用ex, ey, ez表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变；分别用gxy, gyz, gzx表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。则

对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz，Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。
3、正应变表达式

首先讨论Oxy面上投影的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'，M'B'，即变形后的MA，MB的投影。
微分单元体的棱边长为dx，dy，dz，M点的坐标为（x，y，z），u（x，y，z），v(x, y, z)分别表示M点x，y 方向的位移分量。
则A点的位移为u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B点的位移为u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒级数将A，B两点的位移展开并且略去二阶以上的小量，则A，B点的位移分别为

因为

所以

同理可得

由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即正应变。
显然微分线段伸长，则正应变ex, ey, ez 大于零，反之则小于零。
4、切应变分量
以下讨论切应变表达关系。
假设byx为与x轴平行的微分线段ma向y 轴转过的角度，bxy为与y轴平行的mb向x轴转过的角度。则切应变

因为

上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可得

byx和bxy可为正或为负，其正负号的几何意义为：byx大于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，则

同理可得

切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。
5、几何方程与应变张量
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为

上述公式称为几何方程，又称柯西方程。
柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
如果使用张量符号，则几何方程可以表达为

上式表明应变分量eij 将满足二阶张量的坐标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为

§3.2 纯变形位移与刚性转动位移
学习思路:
应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不能完全描述弹性体的变形，原因是没有考虑微分单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。刚体转动通过转动分量描述。
刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分组成，平动位移和转动位移。如果发生变形，位移中还包括纯变形位移。
学习要点：
1、刚体转动位移；2、转动位移分量；3、纯变形位移与转动位移；4、位移的分解。
1、刚体转动位移
应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。
设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。
设转动角速度矢量为ω，OP之间的距离矢量为r ，如图所示。

则

引入拉普拉斯算符矢量

2、转动位移分量
设P点的位移矢量为U，有
U =ui +vj +wk
由于位移矢量可以表示为 U =ω×r ,
所以

即

其中

wx, wy, wz为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。
3、纯变形位移与转动位移
设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。与M点邻近的N点，坐标为（x+dx，y+dy，z+dz），位移为（u+du，v+dv，w+dw）。
则MN两点的相对位移为（du，dv，dw）。因为位移为坐标的函数，所以

同理可得

以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。
刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。
4、位移的分解
总得来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的：

1、随同M点作平动位移。
2、绕M点作刚性转动在N点产生的位移。
3、由于M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。
转动分量w x, w y，w z 对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了方位的变化。
位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得

显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。
§3.3 应变的坐标变换与应变张量
学习思路:
与应力状态分析相同，一点的应变分量在不同坐标系下的描述是不相同的，因此讨论应变状态，就必须建立坐标变换，就是坐标转动时的应变分量变换关系。
本节通过新坐标系与旧坐标系之间的位移变换关系式，根据几何方程，通过复合函数的微分，就可以得到应变分量的转轴公式。
转轴公式表明应变张量也是二阶对称张量。
根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。
应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。
学习要点：
1、坐标变换；2、应变分量坐标转轴公式；3、应变张量。
1、坐标变换
上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。与坐标转轴时的应力分量的变换一样，我们将建立应变分量转轴的变换公式，即已知e ij 在旧坐标系中的分量，求其在新坐标系中的各分量e i'j' 。
根据几何方程，坐标平动将不会影响应变分量。因此只需坐标转动时的应变分量变换关系设新坐标系Oxyz 是旧坐标系 Ox'y'z' 经过转动得到的，如图所示。

新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为

设变形前的M点，变形后移至M'点，设其位移矢量MM '=U，则

2、应变分量坐标转轴公式
所以，新坐标系的位移分量为

根据几何方程，根据复合函数的微分关系

同理，可以推导其余五个应变分量的变换公式，即

3、应变张量
如果以 nij（i，j=1，2，3）表示新旧坐标系之间的夹角的方向余弦，并注意到应变张量表达式，则上述应变分量变换公式可以写作
eij=nii' njj' eij
因此，如果将应变分量写作下列形式

则应变分量满足张量变换关系。
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。
由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即一点的应变状态就完全确定了。不难理解，坐标变换后各应变分量均发生改变，但它们作为一个整体，所描述的一点的应变状态是不会改变的。
§3.4 主应变和应变不变量
学习思路:
应变状态分析需要确定一点的最大正应变及其方位，就是确定主应变和主平面。
对于任意一点，至少有三个垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的正应变称为主应变。
本节根据位移增量与应变分量以及主应变的关系，推导求解主应变及其方向余弦的齐次方程组。根据齐次方程组非零解的条件，可以确定关于求解主应力的应变状态 特征方程。
根据特征方程，可以确定三个主应变。如果将主应变回代齐次方程组，并且注意到任意截面的三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。
根据特征方程和应变不变量可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。
学习要点：
1、位移微分表达式；2、主应变齐次方程组；3、主应变特征方程与不变量。
1、位移微分表达式
弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而改变。因此是否可以像应力张量一样，对于某一个确定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分量不等于零。即能否找到三个相互垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只是各自改变长度，而其夹角仍为直角。答案是肯定的。
在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。
具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。
设e ij为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变e1，e2，e3 及应变主轴方向n1, n2, n3。设MN 为M点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l，m，n，主应变为e。令dr 表示MN 的长度, 则MN相对伸长为e dr ，如图所示
设M点的位移为（u，v，w），则N点的位移为（u+du，v+dv，w+dw）。因为
du =在x方向的变形位移分量+刚性转动位移在x方向的分量
=e l dr + 刚性转动位移在x方向的分量

2、主应变齐次方程组
根据公式

即du等于纯变形位移与刚性转动位移在x方向的分量之和。根据上述公式，可得

或者写作

同理可得

上述公式是关于l，m，n的齐次线性方程组。
3、主应变特征方程与不变量
对于l，m，n的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即

将上式展开，可得主应变特征方程，

其中

显然与应力不变量相同，J1，J2，J3为应变不变量，分别称为第一，第二和第三应变不变量。
根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。
由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。
§3.5 体积应变
学习思路:
物体变形后的单位体积变化称为体积应变。
讨论微分平行六面体单元的体积变形，可以得到体积应变。体积应变等于3个正应变之和，就是第一应变不变量。
体积应变表示物体的体积变形是正应变引起的，与切应变无关。
学习要点：
1、单元体位移；2、体积应变。
1、单元体位移
本节介绍物体变形后的单位体积变化，即体积应变。
讨论微分平行六面体单元，如图所示。
变形前，单元体的三条棱边分别为MA，MB，MC，长dx，dy，dz，其体积为：V=dxdydz。设M点坐标为（x，y，z），则A，B，C点坐标分别为（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。

弹性体变形后，其三条棱边分别变为M'A'，M'B'，M'C'。其中

2、体积应变
若用V '表示变形后的微分单元体体积，则

将行列式展开并忽略二阶以上的高阶小量，则

若用q 表示单位体积的变化即体积应变，则由上式可得

显然体积应变q 就是应变张量的第一不变量J1。因此q 常写作

体积应变q 大于零表示微分单元体膨胀，小于零则表示单元体受压缩。若弹性体内q 处处为零，则物体变形后的体积是不变的。
§3.6 应变协调方程
学习思路:
变形协调方程的数学意义是：要使以三个位移分量为未知函数的六个几何方程不矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。
应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续性质作出解释。如果变形不满足一定的关系，变形后的物体将出现缝隙或嵌入现象，不能重新组合成连续体。
为使变形后的微分单元体连续，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程，又称圣维南（Saint Venant）方程。
假如弹性体是单连通域的,应变协调方程不仅是变形连续的必要条件，而且也是充分条件。
利用位移函数的微分沿任意路径重新积分可以确定的位移必然是单值位移的条件，可以证明应变协调方程。
对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移连续的必要条件，只有加上位移连续补充条件作为充分条件。
学习要点：
1、变形协调例题；2、变形协调方程；3、变形协调方程的意义；4、变形协调方程证明；5、变形协调方程证明2；6、多连域的变形协调。
1、变形协调例题
几何方程表明，六个应变分量是通过三个位移分量表示的，因此六个应变分量将不可能是互不相关的，应变分量之间必然存在某种联系
这个问题对于弹性力学分析是非常重要的。因为如果已知位移分量，容易通过几何方程的求导过程获得应变分量；但是反之，如果已知应变分量，则几何方程的六个方程将仅面对三个未知的位移函数，方程数显然超过未知函数的个数，方程组将可能是矛盾的。
随意给出六个应变分量，不一定能求出对应的位移。例如：
例1 设应变分量为： ， ，求其位移
解：

显然该应变分量没有对应的位移。
要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件

以下我们将着手建立这一条件。
2、变形协调方程
首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式

分别对x和y求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得

若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则

将上式对x求一阶偏导数，则

分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式

上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程，又称圣维南（Saint Venant）方程。
3、变形协调方程的意义
变形协调方程的数学意义是：要使三个位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。
应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续作出解释。假如物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。
为使变形后的微分单元体仍能重新组合成连续体，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程。
假如弹性体是单连通域的,则应变分量满足应变协调方程不仅是变形连续的必要条件，而且也是充分条件。
为证明应变协调方程是变形体连续的必要和充分条件，我们可利用弹性体变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数的性质。
我们的目的就是证明：如果已知应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就一定可以通过几何方程的积分求得单值连续的位移分量。
下面我们推导单连通域的变形协调关系。
4、变形协调方程证明
所谓的单连通域，是指该物体内任一条闭曲线可以收缩到一点而不越出界外。设应变分量eij单值连续，并有连续的二阶导数，则由

轮换x, y, z计算，可得dv，dw 和dw y，dw z 。
如果能够通过积分，计算出

上述位移和转动分量如果是单值连续的，则可得到弹性体的位移单值连续的条件。
5、变形协调方程证明2
保证上述位移单值连续的条件是其积分与积分路径P0P无关。其充分与必要条件为

根据上述公式的第三式，可得

同理，根据上述公式的第四和第八式，可得w x对y，z的偏导数。即

将计算w x对y，z的偏导数回代到公式的第一式，则可以得到转动分量w x表达式

如使wx单值连续，其必要与充分条件是

或写作

同理，讨论w y和w z 的单值连续条件可得出类似的四个公式。将单值连续的w x,w y和w z 代入位移计算公式，则可得到单值连续的位移u，v，w。
由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。

6、多连域的变形协调
如果弹性体中的一条封闭曲线，若收缩至一点必须越出域外，则为多连通域物体。

一个多连通域物体，可用若干个截面将物体部分的截开，使之成为单连通域。如果所需的截面数为n，则物体为n+1连域。
平面为有两个环形孔的物体，两个截面即可使其成为单连通域，所以为三连域。
对于多连通域问题，应变满足变形协调方程并不能确保位移在分割后的单连通域内单值连续。因为当位移分别从截面两侧趋近于截面上的某一点时，一般的说其将趋于不同的值。
分别用u+，v+，w+和u-，v-，w-表示截面两侧的位移，则多连通域的位移单值连续条件还需要补充条件
u+=u-， v+=v-， w+=w-

，
因此，对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移连续的必要条件，只有加上上述补充条件后，条件才是充分的。
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