七年级数学家庭辅导-第十六章-平行四边形的认识-华东师大版.doc

第十六章 平行四边形的认识

l 应知
一、基本概念
平行线间的距离：两条直线平行，其中一条直线上任一点到另一条直线的距离叫做平行线之间的距离。平行线间距离处处相等。
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
正方形：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
与梯形有关的定义：
①底：平行的一组对边叫做梯形的底。（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）
②腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。
③高：两底间的距离叫做梯形的高。
④直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
⑤等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
二、基本法则
1. 平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等，对角相等；
【注意】⑴夹在平行线间的平行线段相等。⑵平行四边形邻角互补。
②平行四边形的对角线互相平分。
2. 矩形的性质：
①矩形的四个内角都是直角；
②矩形的对角线相等且互相平分。
【注意】推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3. 菱形的性质：
①菱形的四条边都相等；
②菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角。
【注意菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半。
4. 正方形的性质：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
【注意】正方形可以看作有一组邻边相等的矩形，或有一个角是直角的菱形。
5. 等腰梯形的性质：
①等腰梯形同一底边上的两个内角相等；
②等腰梯形两条对角线相等。
【注意】平行四边形是中心对称图形。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的一般性质外，还分别具有一些独特的性质，而且它们不仅是中心对称图形，还都是轴对称图形。等腰梯形是轴对称图形。梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形来探索。
解决梯形问题常用的方法：
（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；
（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；
（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；
（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；
（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（下图）．

l 应会
1. 利用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质解决一些线段和角度的度量问题。
2. 四边形的变形(剪拼)。
l 例题
1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．
（A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是
2. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．

3. 判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）

4. 如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，
求证：BE=CF

5. 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．

6. 已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．

7. . 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

8. 已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，，．
求证：AD=AB—DC．

9. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。垂足为点D， AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。
（1） 求证：四边形ADCE是矩形。
（2） 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

10. 已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．

l 参考答案
1. B 2. B
3. (1) × (2)√ (3)√ (4)×
4. ∵DE∥BC，EF∥DC ∴四边形EFCD是平行四边形，CF=DE，∠DBC=∠BDE
又∵BD平分∠ABC ∴∠DBC=∠ABD ∴∠ABD=∠BDE BE=DE ∴CF=BE

5. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴　∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴　∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴　∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
6. 证明：∵DM⊥AB，EF⊥AB ∴DM∥EF
同理：ME∥DG
∴四边形MEND是平行四边形。
连接AM，∵M是等腰三角形ABC底边BC上的中点
∴AM是∠A的平分线
∴MD=ME ∴四边形MEND是菱形。
7. 证明：∵∠C=90°，DE⊥BC ∴DE∥AC 同理：DF∥AB
∴四边形CFDE是平行四边形。 ∠EDF+∠C=90° ED⊥DF
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF
∴四边形CFDE是正方形．
8. 证明：作DE∥CB ∵CD∥AB ∴四边形CDEB是平行四边形，EB=DC
∵，，∴∠DEA=
∠ADE=180°－40°－70°=70°
∴∠ADE=∠BED AD=AE
∴AD=AB－EB=AB－DC

9. （1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB
∵∠CAM=∠B+∠ACB, AN是∠CAM的平分线
∴∠MAN=∠B
∴AN‖BC
∵AD⊥BC, CE⊥AN
∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°
∴四边形ADCE是矩形(三个角是直角的四边形是矩形)。
（2）解：当△ABC满足∠BAC=90°时四边形ADCE是一个正方形，证明如下：
∵∠BAC=90°，则∠CAD=∠BAD=45°
∴∠ACD=45°
∴AD=CD
由(1)证得：四边形ADCE是矩形
∴矩形ADCE是一个正方形(一对邻边相等的矩形是正方形)
10. 解：∵　 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵　 AO=BO，
∴　 AC=BD．
∴　 ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵　 AB=4cm AO=AB AC=2AO=8cm，
∴ BC=（cm）．
∴=

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