1、高 等 数 学
第五次课
教学内容：极限存在准则，两个重要极限，无穷小比较
教学目的：（1）熟练运用，
（2）了解两个极限存在准则
（3）无穷小比较
教学重点：两个重要极限，无穷小比较
教学难点：两个重要极限，无穷小比较
教学关键：极限存在准则，无穷小比较
教学过程：
一、极限存在准则 两个重要极限
准则1、（夹逼准则）如果数列{}、及{}满足下列条件：
（1）、
（2）、
那么数列极限存在，且
例、求
解：
原极限为1
准则如果
（1） 当，
（2），那么存在，且等于A
利用存在准则，得到重要极限
1、
例1、求极限
解：
例
2、2、求极限
解：原极限
=1
例3、求极限
解：原极限
准则2、单调有界数列必收敛
利用准则，得到重要极限：
2、
当时，函数的值无限地接近于一个常数2.71828，记这个常数为e，即
在自然科学中，这个数e作为对数的底，为e底的对数叫做自然对数，记作
例1、 求极限
解：原极限
=
例2、
解：原极限=
=
=
=1
例2、 求极限
解：令
则原极限=
=
=
3、 =
柯西极限存在准则：数列收敛的充分必要是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时，就有
说明：柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理
二、无穷小的比较
1.引入
两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是,关于无穷小的商,却会出现不同的情况.例如,当时,、、都是无穷小，而
，，.
两个无穷小之比的极限的各种不同的情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.
2.定义
如果,就说是比高阶的无穷小,记作;
如果,就说是比低阶的无穷小.
如果,就说与是同阶无穷小;
如果,就说是关于的k阶无穷小.
如果,就说与是等价无穷小,记作.
4、
显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即.
例如:
因为,所以当时, 是比高阶的无穷小,即.
因为,所以时, 是比低阶的无穷小．
因为,所以时,与时同阶无穷小.
因为,所以当时, 是关于的二阶无穷小.
因为,所以当时,与是等价无穷小,即.
下面再举一个常用的等价无穷小的例子.
例1 证明:当时,.
证:因为
，
所以．
关于等价无穷小,有下面两个定理.
3.定理
定理1 .
定理2 设,,且存在,则
=.
证：．
[注]定理2提供了一种计算极限的重要方法------等价无穷小代换.求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代换,对
5、乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意,等价无穷小不能在加减法中使用.常用的等价无穷小有:当时, ,,,,,(其中为常数).
例２ 求．
解：当，，，所以
．
例３ 求．
解：当，，对分子作代换，得
＝．
[应用举例]
例1 计算下列极限：
（1） （2）
解 （1）
（2）
=
例2 计算下列极限：
（1） （2）
解
（1） 原式
（2）原式
例3 求
解：原式
因为， 所以
所以 原式
例4已知 ，求常数
解：
，求常数和
解一：令，则
故即
而得
代入得 两边令得
解二：因，而原式右边为，故
如，则分子的次数（）比分母高，当时分式应；
故再由知。于是上式右边成为
以除分子分母，上式极限为，但已知极限为故
例5（）
解：原式=
例6
（无穷小乘以有界两等于无穷小）
徐屹 第 6 页 2024-11-24
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