2014届四川省成都石室中学高三上学期期中考试文科数学试题及答案.doc

石室中学高2014届2013—2014学年度上期期中考试
数学（文科）试题

（时间120分钟满分150分）

一、选择题：每题只有唯一正确答案，每小题5分，共50分.
1.设全集，集合，则集合=（ ）
A. 　　B. C. 　 D.
2.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 2π D. 4π
3.已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）
A． －　　 B. 　 C. 2　　 D. 1
4.已知数列是等差数列，且，则的值为（ ）
A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　 D.
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶次，两人成绩的条形统计图如图所示，则说法正确的是（ ）

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

( ).

（6题图）

（第4题）

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6．如右图程序运行后,输出的值是（ ）
A．-4       B. 5
C. 9       D. 14

7.设实数和满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球，个白球和个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A. B. C. D.
9.已知向量满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3 B．. C． D．
10.已知函数则函数的零点个数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：每题5分，共25分.
11.某工厂生产三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有件，那么此样本容量 ．
4
3
2
2
正视图
侧视图
俯视图
12.已知等差数列中，为其前n项和，若，，则当取到最小值时n的值为_________.

13.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm．
14．已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 .
15.已知正数满足则的取值范围是 .
三、解答题：共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本题满分12分）已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.

17. （本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，且有.
（1）求角的大小；
（2）设向量，且，求的值.

18．（本题满分12分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.
（1）求证：平面平面；
（2）当，且时，确定点的位置，即求出的值.
B
E
P
D
C
A

19．（本题满分12分）
成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：
（I）求获得参赛资格的人数；
（II）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
（|||）若知识竞赛分初赛和复赛，在初
赛中每人最多有3次选题答题的机会，累计
答对2题或答错2题即终止，答对2题者方
可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题
的概率都相同，并且相互之间没有影响，已
知他连续两次答错的概率为，求甲通过初
赛的概率。

20.（本题满分13分）已知函数，
(Ⅰ)若时，求的值域；
(Ⅱ)若存在实数，当时，恒成立，求实数的取值范围.

21. （本题满分14分）设和是函数的两个
极值点，其中，．

(Ⅰ) 求的取值范围；
(Ⅱ) 若，求的最大值（e是自然对数的底数）．
石室中学高2014届上期中期考试题
数学参改答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
C
A
B/D
B
D/B
B/C

二、填空题：
11. 72; 12. 7或8; 13. ； 14. (理) (文) 15. (理) (文)
三、解答题：
16. 解：（Ⅰ）由题设知， …………………………………………2分
由两式相减，得.
所以. ……………………………………4分
可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。
所以 …………………………………………6分
（Ⅱ）， ……………………………………… 8分
. ……………………………………… 10分

=. …………………………………………12分
17.

………………6分
(2)

舍（不舍 扣2分）
………………12分

18. （文科每问6分，理科三问分别3分、4分、5分）
证明：
（1）四边形ABCD是正方形ABCD

(2)设AC交BD=O
,AO=1

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=
中斜边PB的高h=
即E为PB的中点。
(3)连接OE，以O为坐标原点，OC为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系。
则A(1,0,0) E(0,0,1) F(0,-1,) D(0,-1,0)
面EFD的法向量为
设为面AEF的法向量。

令y=1,则

所以二面角A-EF-D的余弦值为

19.解：(1) (0.005+0.0043+0.032)*20*500=0.25*500=125 ……………2分
(2) (40*0.0065+60*0.0140+80*0.0170+100*0.0050+120*0.0043+140*0.0032)*20
=(0. 26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)*20=78.48 ……………5分
(3) 设甲答对每一道题的概率为.P
则

的分布列为

3
4
5

=……………12分
文科第三问：P=
20. 解：（1）理：由题意得：
当时，，
∴此时的值域为：…………………………2分
当时，，
∴此时的值域为：………………………………4分
当时，，
∴此时的值域为：……………………6分
文：的值域为：。
（2）由恒成立得：恒成立，
令，因为抛物线的开口向上，所以，由恒成立知：………………8分
化简得： 令
则原题可转化为：存在，使得 即：当，…10分
∵，的对称轴：
① 即：时，
∴解得：
②当 即：时，
∴解得：
综上：的取值范围为：……………………………………………………13分
法二：也可，
化简得：有解
，则。

21. 理科：解：(Ⅰ)
令可得.列表如下:

-
-
0
+

减
减
极小值
增
单调减区间为,;增区间为.------------5分
(Ⅱ)由题，
对于函数，有
∴函数在上单调递减，在上单调递增
∵函数有3个极值点，
从而，所以，
当时，，，
∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，
此时，函数有3个极值点，且；
∴当时，是函数的两个零点，————9分
即有，消去有
令，有零点，且
∴函数在上递减，在上递增
要证明
即证
构造函数，=0
只需要证明单调递减即可.而， 在上单调递增,
∴当时，.————————１４分
文科：解：(Ⅰ)函数的定义域为，
．…………1分
依题意，方程有两个不等的正根，（其中）．故
，
并且 ．
所以，

故的取值范围是． …………6分
(Ⅱ)解:当时，．若设，则
．
于是有

构造函数（其中），则．
所以在上单调递减，．
故的最大值是． …………14分
·12·