人教版-教案-高三数学专题4向量及其应用.doc

713400 陕西永寿县中学 安振平 zpan1@ 13152325633 0910-7667327(0)
第四讲 向量及其应用

陕西特级教师 安振平

l 高考风向标
向量的概念: 向量的基本要素,向量的表示,向量的长度,相等的向量,平行向量．
向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的内积及各运算的坐标表示和性质．
重要定理与公式：平面向量基本定理，两个向量平行的充要条件，两个向量垂直的充要条件，线段的定比分点公式（特别是中点公式），平移公式，正弦定理，余弦定理．
l 典型题选讲
例1　　已知向量m=1,1），向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.
（1）求向量n；
（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量p=，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列. 求|n+p|的取值范围；
讲解 用向量的有关公式进行逐步翻译．
（1）设①
与夹角为，有·=||·||·，
所以　　　　　　　　　　　②
由①②解得　
（2）由垂直知，
由2B=A+C 知B= ，A+C=
若

点评　在第（２）小题中，应用的三角公式较多，这似乎应当寻找联系，产生一定的条件反射．如：遇到高次想将次，即公式．
例2 设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.
（1）若f(x)=1-且x∈[-，]，求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．
讲解（1）同上题，遇到高次想将次，依题设可得
　f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由　1+2sin(2x+)=1-，得　　sin(2x+)=-.
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，
即　　　　　　x=-.
（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（Ⅰ）得 　　　f(x)=2sin2(x+)+1.
∵|m|<，∴m=-，n=1.
点评 本题是2004年高考试题福建卷数学试题（理科）第17 题. 主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．
例3　如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值．
讲解 解题思维的入手点是在“Rt△ABC中”，据此进行翻译和转化．

，　　　

．
．
点评　本题是2004年湖北高考卷第19题，向量作为一种高中数学的新的知识，是高考的必考内容，它可能与三角函数、解析几何等知识综合，有时出现在选择题、填空题中，更多的时候有一道解答题．
例4 椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．
讲解（１）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．
依据题意，设椭圆的方程为，则由
，
椭圆方程为．　　　　　　　　　　　
（２）因为在椭圆上，故　　　　　　

　　　由平面几何知识得　，即，所以．　　　
　　令，设且，则
，
所以函数在上是单调递减的，从而当时，原式取得最大值，当时原式取得最小值．
点评　本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成．
例5 在△ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12．以为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy．
（1）证明存在两个定点E、F，使得|BE|+|BF|为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹Γ；
（2）设P为轨迹Γ上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足，经过点A且以为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由？
讲解 （1）由sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，得
　　　　　　　　　a+c=2b，且a>b>c．
因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8为定值．
注意到8>|AC|=4，且|BC|>|BA|，
故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分．
并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）．
A
C
O
x
y

N
M
P
R
Q
S
T
（2）如图所示，不妨取，则以PMN为顶点可作出一个菱形PMTN，于是，，且，从而PQ为∠APC的外角∠SPA的平分线．过A且以为方向向量的直线AS⊥PQ．
从而，于是只须取AC的中点为D（O），即有=4为定值．故存在定点D，而为定值.
点评　二次曲线的定义是历年高考常考常新的热门话题．联系定义，有时可以使问题的解答非常简洁，请读者认真反思本题的思维路线，看看会有什么启发．
例6 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且
的最小值为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．
讲解 (1)由题意，设（），由余弦定理, 得
．

又·，
当且仅当时，· 取最大值，
此时取最小值，令，
解得，，∴，
故所求的轨迹方程为.
（2）设，，则由，可得，
故.
∵、在动点的轨迹上，故且，
消去可得，解得，
又，∴，解得，
故实数的取值范围是．
点评　椭圆的焦点三角形是高考的又一个热点，应用余弦定理是解答三角形的必用工具．在数学的复习过程中，逐渐形成一些有用的解题模式，对提高解题的技能是必须的，也是很有用的．
例7　抛物线的准线与y轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，且
（1）求||的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°.若存在，求出点B；若不存在，说明理由.
讲解 画出图形，肯定会帮助你快速找到解题的思维路线．
（1）抛物线为x2=－8y,准线为y=2, ∴A（0，2）.

设MN的中点为P，
∴PB垂直平分线段MN.
设MN为：y=kx+2,与x2=－8y联立，得
x2+8kx+16=0………………………………（*）
由
又点P坐标为，
∴直线PB方程为：.
令x=0,得y=－2－4k2<－6, ∴的取值范围是.
（2）设存在满足条件的点B（0，－2－4k2）,M、N坐标为M(x1, kx1+2)，N(x2, kx2+2)
由KBM·KBN=－1，得

即　　　x1x2+k2x1x2+4k(1+k2)(x1+x2)+16(1+k2)2=0,
由（1）中（*）式，韦达定理，代入上式得
16(1+k2)+16(1+k2)2+4k(－8k)(1+k2)=0
解得，.
故知点B（0，－10）为所求.
点评 对于抛物线的试题，考试中出现的较多的是型．
例8 如图，已知三角形PAQ顶点P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，

（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；

（2）设直线与轨迹E交于B、C两点，点D（1，0），若∠BDC为钝角，求k的取值范围．

讲解 （1）
　　①
　　　　②
由①②
（2），
．
　　，

，则
．
y1y2=k(x1+1)·k(x2+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1]　　　　　⑤
将④⑤代入③得 ．
．
点评　解答范围问题的关键在于建立不等关系，这常需要由等式导出不等式，一般用到判别式、2元均值不等式、三角函数的有界性等等．
l 针对性演练
1. 条件甲：“四边形是平行四边形”是条件乙：“”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2. 若向量的夹角为，,则向量的模为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 12
3. 已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则＝，其中＝（ ）
A．　 B．－　　 C．2　　 D．－2
4. 下列条件中，不能确定三点A、B、P共线的是 （ ）
A． B．
C． D．
5. 在直角坐标系中，O是原点，=(－2＋cosθ,－2＋sinθ) (θ∈R)，动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 ( )
A． 4 　　　 B． 5 　　　　C． 2 　　　　 D． 　　　　　　　　　　　
6. 向量=（cos23°, cos67°），=（cos68°，cos22°），=+t=(t∈R)
（1）求·之值；
（2）求||最小值.
7. 已知向量
（1）求
（2）若的最小值为的值.
8. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
(１)求椭圆的方程；
(２)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.
9. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(１) 　求椭圆的方程及离心率；
(２)　若求直线PQ的方程．
10. 如图，在直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），P（x，y）（y≠0）. 设、
、与轴正方向的夹角分别为、、，若，
（1）求点P的轨迹G的方程；
（2）设过点C（0，－1）的直线l与轨迹G交于不同两点M、N. 问在x轴上是否存在

一点，使△MNE为正三方形. 若存在求出值；若不存在说明理由.

参考答案

１．A. 2. C. 3. D. 4.D. 5. C.
6. (1) ; (2) ．
７．（1）．

（2）
当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取最小值－1，与已知矛盾．
当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取最小值－1－2λ2，由已知得：－1－2λ2=－，解得：λ=．
当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得：矛盾．
综上所述：λ=为所求.
８．（1）；（2）或0．
９．　（１）依据题意可设椭圆的方程为　由已知得

解得 　　　　　　　
所以椭圆的方程为，离心率
(２) 由(１)可得
设直线PQ的方程为由方程组

得
依题意 得　　
设 则
　 　 ①
　 ②
由直线PQ的方程得 于是
③
④
由①②③④得　　从而　
所以直线PQ的方程为　或
10. （1）由已知
．

　　　　　　　①
当x=1时，也满足方程①．
故所求轨迹G方程为．
（2）假设存在点，使△MNE为正△，设直线l方程：代入方程
，得　
．
．
所以，
　　　　．
．
．
在正．

矛盾.
故不存在这样的点使△MNE为正三角形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11