三角形全等复习课.doc

三角形全等的复习

“探索三角形全等的条件”是三角形的重点，又是进一步学习平面几何的基础.
【题1】
如图所示，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.
求证：AF=DE.
【解析】
由于BE+EF=CF+FE, 即BF=CE,利用“两边及其夹角对应相等”可以证明△ABF≌△DCE，便得AF=DE.
【点评】利用已知的相等线段推出相关线段相等是常见的得到三角形全等条件的一种方法.
【知识规律串讲】
一、三角形全等的证明一般思路
已知两边
已知一边与一角
已知两角
边为角的对边
边为角的邻边
1．找夹角（SAS）
2．找直角（HL）
3．找另一边（SSS）
找任一角AAS
1．找夹角的邻边（SAS）
2．找夹角边的另一角（ASA）
3．找边的对角（AAS）
1．找夹边（ASA）
2．找任一边（AAS）
二、三角形全等常见的基本图形
三角形全等的证明题中的常见基本图形有以下几种：

说明：在寻求证明三角形全等的条件时，前五个图形我们常常从（公共）边方面考虑，后两个图形我们常常从（公共）角方面考虑.
三、三角形全等题型及方法
1.数一数
例 如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点0，且AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有（ ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
分析:本题是一道和多个全等三角形有关的探索型问题.观察图形可知共有8个三角形,它们分别是△AOB、△AOC、△ABE、△ACD、△AOD、△AOE、△BOD、△COE.由已知的条件可判定△AOD≌△AOE（A.A.S）；△BOD≌△COE(A.S.A）；△AOB≌△AOC(S.S.S）；△ABE≌△ACD(A.A.S）.所以图中共有四对全等三角形.
解: 选D.
2.三角形全等的结论探索

例 如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．
分析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF
可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．
∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．
依此类推得①、②、③
点评：本题应注意已知条件与隐含条件相结合的方法，要善于找到题中隐含条件的条件为三角形全等证明服务．同时，我们要有这样的意识，已经全等的三角形可以为还未全等的三角形提供相关的条件证明其全等。
图1
D
C
O
B
A
3.条件探索题
例1：（2006年宜昌市）如图1，AB=CD，AD、BC交于点O，要使△ABO≌△DCO，应添加的条件为 。
分析：已知一组等边AB=CD，图中又有对顶角∠AOB=∠DOC，所以填上∠A=∠D或∠B=∠C或AB∥CD或AD与BC互相平分等均可。
例2：

图2
（2007年福建福州）如图2，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是
（只要写一个条件）．并说明全等的理由．
分析：因为判断三角形全等一般需要三个条件，现在要添加一个
条件，因此首先要找出两个已知条件，题中有明显条件AE=AD，要注
意挖掘图形中隐含的条件公共角∠BAE，这样可根据全等三角形判定方
法添加条件．
解：答案不唯一，从下面任选一个即可．根据“SAS”可添加AB=AC或BD=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠AEB=∠ADC或∠CEO=∠BDO．
添加一个条件是：AB=AC．
理由：在△ABE和△ACD中，因为AE=AD，∠BAE=∠CAD，AB=AC，所以△ABE≌△ACD（SAS）．
点评：根据题中给定条件结合图形进行分析，是找出添加条件的关键所在．这类试题的答案一般不唯一．
A
B
C
D
E
F

图3

例3：（2007年宁德市）如图3，已知，垂足分别为．请添加一个适当条件，使并予以证明．
添加条件： ．
分析：根据三角形全等的识别方法可添加条件：（或，或等）．
证明：，，．
又，，（AAS）．
4. 全等三角形的应用
例1：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图所示，在∠AOB的边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
分析：由题意知OM=ON，OP是公共边，PM=PN，可知选用定理SSS，故选A.
例2：如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达的点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连结BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A、B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。
分析：由操作得出相关线段与角的相等关系，便可以证出△ABC≌ △DEC，进而推出AB=DE。
同时，我们也得到了一种测量不可到达的两点的距离的方法，即构造全等形的方法。
解:在△ABC与△DEC 中

∴ △ABC≌ △DEC (SAS)
∴ AB=DE （全等三角形对应边相等）

课堂小结
总结本节课学到的知识、方法和技能。也可以从其它的角度谈收获。