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乘法公式的拓展和常见题型
乘法公式的拓展及常见题型
一．公式拓展：
拓展一：

拓展二：

拓展三：
拓展四：杨辉三角形

拓展五： 立方和与立方差

二． 基本考点
例1：已知:，,化简的结果是　　　．
例2:化简与计算

练习:
1、（a+b－1）(a－b+1）= 。
2．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（ ）

A．5 B．6 C．－6 D．－5
3、已知 求与的值.
4、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。
5、（a－2b+3c）2－（a+2b－3c）2= .
6、已知，都是有理数,求的值。
7、（运用乘法公式）

考点连接
题型一:乘法公式在解方程和不等式组中的应用
解方程:
题型二：应用完全平方公式求值
设m+n=10，mn=24,求的值。

题型三:巧用乘法公式简算
计算：（1）； （2）

题型四：利用乘法公式证明
对任意整数n，整式是不是10的倍数？为什么?

题型五：乘法公式在几何中的应用
已知△ABC的三边长a，b，c满足，试判断△ABC的形状。

三．常见题型：
（一)公式倍比
例题：已知=4，求。

⑴如果，那么的值是
⑵,则=
⑶已知=
(二）公式组合
例题：已知(a+b)2=7，（a—b)2=3, 求值： (1)a2+b2 （2)ab

⑴若则____________，_________
⑵设（5a＋3b)2=（5a－3b）2＋A，则A=
⑶若,则a为
⑷如果，那么M等于
⑸已知(a+b）2=m,（a-b)2=n，则ab等于
⑹若，则N的代数式是
⑺已知求的值为 。
⑻已知实数a，b，c，d满足，求

（三)整体代入
例1：，，求代数式的值。

例2:已知a= x＋20，b=x＋19，c=x＋21，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值

⑴若，则=
⑵若，则= 若，则=
⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求 的值为
⑷已知，，，则代数式的值是 ．
（四）步步为营
例题：3(2+1)（2+1)（2+1）(+1）

6（7+1）(7+1）（7+1）+1　　　　

…
（五）分类配方
例题：已知,求的值。

⑴已知：x²+y²+z²—2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值为 。
⑵已知x²+y²—6x—2y+10=0，则的值为 。
⑶已知x2+y2—2x+2y+2=0，求代数式的值为 . ⑷若,x,y均为有理数，求的值为 。
⑸已知a2+b2+6a-4b+13=0，求（a+b）2的值为
(六）首尾互倒
例1：已知

例2：已知a2－7a＋1＝0．求、和的值；
⑴已知，求①= ②=
⑵若x2－ x＋1=0，求 的值为
（3)已知,则的值是
⑸若 且0〈a〈1,求a－ 的值是
⑹已知a2－3a＋1＝0．求和a－ 和的值为
⑺已知,求①= ②=
⑻已知a2－7a＋1＝0．求、和的值；

（七）知二求一
例题：已知,
求：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑴已知,，则_______
⑵若a2+2a=1则（a+1)2=________。
⑶若7,a+b=5,则ab= 若7，ab =5,则a+b=
⑷若x2+y2=12，xy=4,则(x—y)2=_________。7，a-b=5,则ab= ⑸若3,ab =-4，则a-b=
⑹已知：a+b=7，ab=—12，求 ①a2+b2= ②a2—ab+b2= ③（a-b)2=
⑺已知a＋b=3，a3＋b3=9,则ab= ，a2+b2= ,a—b=
练习
1、（顺用公式）计算：

2、逆用公式：①1949²—1950²+1951²—1952²+……+2011²—2012²

②…… ③ 1.2345²+0.7655²+2。469×0。7655

3、配方法：已知:x²+y²+4x-2y+5=0，求x+y的值.

【变式练习】
①已知x²+y²—6x-2y+10=0，求的值.

②已知：x²+y²+z²—2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值。

③当 时，代数式取得最小值,这个最小值是
对于呢?
4、变形用公式:（1）若，试探求与的关系。
（2）化简：
（3）如果，猜想a、b、c之间的关系，并说明你的猜想。
公式变形的应用练习题
1、已知，都是有理数,求的值。
2、已知 求与的值。
3、已知求与的值.

4、（1）已知求与的值。

（2）已知（a+b）2=60，（a—b）2=80，求a2+b2及ab的值

5、已知，求的值。

6、已知,求的值。

7、计算:（1）． (2）．

8、（规律探究题）已知x≠1,计算（1+x）(1－x)=1－x2，（1－x）(1+x+x2)=1－x3,
（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4．
（1）观察以上各式并猜想：（1－x）(1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①（1－2)（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．
③（x－1)（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索:
①（a－b)(a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______．
③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．
9、探究拓展与应用
(2+1)（22+1）（24+1)=（2－1）（2+1）(22+1)(24+1）=(22－1)（22+1)(24+1）
=(24－1）（24+1)=(28－1）.
根据上式的计算方法,请计算
（3+1)(32+1)(34+1）…（332+1）－的值.

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