高三数学高考《函数》讲义与练习.doc

函数讲义与练习

一、本章知识结构：
函数的三要素
函数的表示法
函数的性质
反函数
函数的应用
初等函数
基本初等函数：
指数函数
对数函数
对数
指数
映射
函数射

二、高考要求
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
三、热点分析
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议
1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质
①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；
②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；
③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；
④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；
⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；
⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
2. 以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法
①数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；
②建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。
3. 深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系
要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围没有的内容例如指数不等式（方程）、对数不等式（方程）等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。
所谓函数思想，实质上是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。
五、典型例题
例1 设，则= 1 。
解：由=0，解得
例2 已知函数和定义在R上的奇函数，当x>0时，，试求的反函数。
解：
例3 已知函数是奇函数，又，求a、b、c的整数值。
解：由，又由，从而可得a=b=1；c=0
例3 ⑴已知，求
⑵在上的最小值为；试写出的解析式。
解：⑴， （）
⑵
例4 已知函数，若的最大值为n，求的表达式。
解：

例5 设是R上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求a的取值范围。
解：

故为所求。
例6 比较的大小。
解：作差比较大小:

当m > 1或0 < m < 1。都有u > 0
故。
例7 设。（1）证明在上是增函数；（2）求及其
定义域
解：（1）
任取，且

是增函数，

在上是增函数
（2）；定义域R，值域（－1, 1）
反解：

例8 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．
1）试求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）设，若，试确定的取值范围．
（4）试举出一个满足条件的函数．
解：（1）在中，令．得：
．
因为，所以，．
（2）要判断的单调性，可任取，且设．
在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．
由于，所以．
为比较的大小，只需考虑的正负即可．
在中，令，，则得．
∵ 时，，
∴ 当时，．
又，所以，综上，可知，对于任意，均有．
∴ ．
∴ 函数在R上单调递减．
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．
，
，即．
由，所以，直线与圆面无公共点．所以，
．
解得：．
（4）如．

六、专题练习
一、选择题
1．已知四个函数：①y=10x ②y=log0.1x ③y=lg(-x) ④y=0.1x，则图象关于原点成中心对称的是：（C）
A．仅为③和④ B．仅为①和④ C．仅为③和② D．仅为②和④
2．设f(x)=(x+1)，（1）= 。（1）
3．．已知，定义在实数集R上的函数f(x)满足：（1）f(-x)= f(x)；（2）f(4+x)= f(x)；若当 x
[0，2]时，f(x)=+1，则当x[-6，-4]时，f(x)等于 （ D ）
（A） （B）
（C） （D）
4．．已知f(x)=2 x+1，则的值是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）5
5．已知函数f(x)=+a且f(-1)=0，则的值是 （ A ）
（A）0 （B）2 （C）1 （D）-1
6．函数（x≥0）的反函数是 （ A ）
（A） （B）y=
（C）y （C）y
7．函数f(x)的反函数为 g（x），则下面命题成立的是 （ A ）
（A）若f(x）为奇函数且单调递增，则g（x也是奇函数且单调递增。
（B）f(x）与g（x）的图像关于直线x+y=0对称。
（C）当f(x）是偶函数时，g（x）也是偶函数。
（D）f(x)与g(x)的图像与直线一定相交于一点。
8．若函数y=f(x)的图像经过点（0，1），则函数y=f(x+4)的反函数的图像必经过点 （ A ）
（A）（1，-4） （B）（4，1） （C）（-4，1） （D）（1，4）
9．若函数在区间 上是
减函数，则实数a的取值范围是( B )
A． B． C． D．
10．将函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数
的解析式为( C )
A． B．
C． D．
11．二次函数中，且，对任意，都有，设，则（ B ）
A． B．
C． D．的大小关系不确定
12．函数的值域为（ B ）
A． B． C． D．R
13．已知在上是x的减函数，则a的值取范围是（ B ）
A．(0, 1) B．(1, 2) C．(0, 2) D．
二、填空题
1．函数 的定义域是 。（）
2．函数的单调递增区间是
3．函数的定义域是
三、解答题
1．集合，B=。若，求实数m的取值范围。
解：由，
由题设知上述方程在内必有解。
所以：⑴ 若在只有一个解，则
⑵若在只有二个解，则
由⑴⑵知：
2．设两个方程和有一公共根，问：
⑴a与b之间有什么关系；⑵当，时，求的最大值与最小值。
解：⑴两方程相减得：，显然，否则两方程为同一方程。所以，代入方程得：且
⑵；
所当或时，；
而当时，，所以无最小值。
3．当时，比较与的大小。
解：

当时，
当时，
当时，
4．x为何值时，不等式成立。
解：当时，
当时，
故时，
时，为所求。
5、已知函数
（1）函数在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.
解：（1）
.
因此函数在区间（0，+∞）上是减函数.
（2）（方法1）当时，恒成立，令有
又为正整数. 的最大值不大于3.……7′
下面证明当恒成立.
即证当时，恒成立.
令
当
取得最小值
时，恒成立.
因此正整数的最大值为3.
（2）（方法2）当时，恒成立，
即恒成立.
即的最小值大于

上连续递增，
又
存在唯一实根，且满足：
由知：
的最小值为
因此正整数的最大值为3.
第2讲
一、典型例题
例1 关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为 .
解：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.
等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.
答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)
例2 设是定义在上的奇函数，的图象与的图象关于直线对称，而当时，（c为常数）。
（1）求的表达式；
（2）对于任意，且，求证：；
（3）对于任意，且，求证：1.
解：（1）设g(x)上点与f(x)上点P（x，y）对应，
∴ ；∵在g（x）图象上
∴
∵g(x)定义域为x∈[2,3]，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称，
所以，上述解析式是f(x)在[–1，0]上的解析式
∵fx)是定义在[–1,1]上的奇函数，∴f(0)=0，∴c=–4
所以，当x∈[0，1]时，–x∈[–1，0]，f(x)=–f(–x)=–
所以
（2）当x∈[0，1]时，
∵，∴，所以
（3）∵，∴
∴，∴
即
例3 已知函数f(x)=(a>0, a≠1)
(1) 求反函数f(x)，并求出其定义域。
(2) 设P(n)=)，如果P(n)<(n∈N)，求a的取值范围。
解：(1) 设y= f(x)=log
∴ay=x+
两端平方整理得：a2y-2xay+2=0Þx=
∴ ∵a>1时，f(x)=值域为
0
∴ f-1 (x)的定义域为：a>1时，x∈ 00 ∴(an－3n)[(3a)n－1]<0ÞÞa>1
即
例4 设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足① ②存在正常数a，使f(a) = 1，求证：（1）f(x)为奇函数；（2）f(x)为周期函数，且一个周期为4a。
证明：（1）令x =x1 - x2
则f( - x) = f ( x2 - x1)=
= －f (x1 －x2 )= －f (x)，∴f (x)为奇函数。
（2）∵f( xa ) = f[x － ( －a ) ]=
∴f (x+2a )=
∴f ( x+4a)==f (x)
∴f (x)是以4a为周期的周期函数。
例5 已知函数f(x)=logm
(1)若f(x)的定义域为，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；
(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为的定义域区间为
(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.
解：（1）x＜–3或x＞3.
∵f(x)定义域为,∴α＞3
设β≥x1＞x2≥α，有
当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.
（2）若f(x)在上的值域为
∵0＜m＜1, f(x)为减函数.
∴
即
即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根
∴ ∴0＜m＜
故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.
例6 已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;
(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.
解： （1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：
又A、B锐角为三角形内两内角
∴＜A+B＜π
∴tan(A+B)＜0，即
∴∴m≥5
(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0
即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0
∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3
(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=
且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.
即1+(m+1)+m=8，∴m=3

例7 已知函数的定义域为实数集。（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有，恒有 。
证明（1）∵的定义域为实数集

（2）令

例8 设=，（a>0,a≠1），求证：（1）过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f(3)>3。
解：（1）令t=，则x=，f(x)= (t∈R)
∴f(x)= (x∈R)
设，f()－f()=
(1)a>1时，…，f()0
（2）f(3)=
∵a>0，a≠1 ∴ ∴上述不等式不能取等号，∴f(x)>3
例9 已知函数f(x)=lg(的定义域为（0，+∞），问是否存在这样的a,b，使f(x)恰在（1，+∞）上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。
解：由，得，∵a>1>b>0，∴>1，∴x>log
又f(x)定义域为（0，+∞），∴log=0，K=1，∴f(x)=lg
设0<，，∵a>1>b>0，∴a< a，－b< b
∴0< a－b< a－ b，∴0<<1，∴lg<0
∴，∴f(x)在（0，+∞）上是增函数
∴x(1,+∞）时，必有f(x)>f(1)=lg(a－b)
∵f(x)在（1，+∞）上取正值，∴lg(a－b)=0 a－b=1 (1)
又f(3)=lg4 ∴lg=lg4， =4 (2)
解(1)(2)得：，b=，即有在，b=满足条件

例10 设二次函数f(x)= ax2 +bx+c (a>0且b≠0)。
(1) 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求f(x)的解析式和f(x)的最小值；
(2) 已知f(x)的对称轴方程是x=1，当f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a, b, c满足的条件；
(3) 已知|b|1
∴(a+b+c)2=(a-b+c)2即4(a+c)b=0
∵b≠0 ∴a+c=0，即：a=-c
又∵a>0 ∴a=1 c=-1 此时b=+1 ∴f(x)=x2 + x-1
于是 f(x)=(x + )2 ∴[f(x)]
(2)依题意即b=-2a，∵a>0且b≠0 ∴b<0
令f(x)=0的两根为x1，x2，则函数y=f(x)的图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)
且，满足题设的充要条件是

∴a>0 c0 b<0且b=－2a为所求
(3)方法1：
∵|2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|<|a+b+c|a-b+c|<2 ∴|b|1 又|b||a| ∴1
又|c|=|f(0)|1 又|f(
而f(x)所示开口向上的抛物线且|x|<1，则|f(x)|的最大值应在x=1或x=-1或x=-时取到，因|f(-1)|<1, |f(1)|1, |f(-)| 故|f(x)|得证。
方法2：
令f(x)=uf(1)+vf(-1)+(1-u-v)f(0) 则f(x)=(a+b+c)u+(a-b+c)v+(1-u-v)c
ax2 +bx+c=a(u+v)+b(u-v)+c
∴
∴f(x)=
而|f(1)| 1, |f(-1)|1, |f(0)|1
∴< x∈[-1, 1]
=|x|·==
综上，当|f(0)|1, |f (-1)|1, |f(-1)|1, |x|1时，|f(x)|
解法3：我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示.
∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，，所以，根据绝对值不等式的性质可得：
，，
∴

综上，问题获证.
二、专题练习
一、选择题
1．(2005年春考·北京卷·理2)函数y=|log2x|的图象是 （ A ）
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1

-1
1
1
1
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
2．(2005年春考·北京卷·文2)函数 （ B ）

3. (2005年春考·上海卷16)设函数的定义域为，有下列三个命题：
（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数
的最大值；
（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.
这些命题中，真命题的个数是 ( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．(2005年高考·上海卷·理13文13)若函数，则该函数在上是 （ A ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
5．(2005年高考·上海卷·理16)设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是 （ C ）
A．且 B．且 C．且 D．且
1
y
O
-1
1
6．(2005年高考·福建卷·理5文6)函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ D ）
A． B．
C． D．
7．(2005年高考·福建卷·理12)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．(2005年高考·福建卷·文12)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．(2005年高考·广东卷9)在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位， 再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ A ）
A．
B．
C． D．

10．(2005年高考·湖北卷·理4文4)函数的图象大致是 （ D ）

11．(2005年高考·湖北卷·理6文7)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是 （ B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．(2005年高考·湖南卷·理2)函数f(x)＝的定义域是　 （　A）
　　A．－∞，0]　　 B．[0，＋∞　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）
13．(2005年高考·湖南卷·文3)函数f(x)＝的定义域是　 （　A）
A．－∞，0]　　 B．[0，＋∞　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）
14．(2005年高考·湖南卷·文10)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ B ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
15．(2005年高考·辽宁卷5)函数的反函数是 （ C ）
A． B． C． D．
16．(2005年高考·辽宁卷6)若，则的取值范围是 （ C ）
A． B． C． D．
17．(2005年高考·辽宁卷7)在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则 （ C ）
A． B． C． D．
18．(2005年高考·辽宁卷10)已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则 （ A ）
A． B． C． D．
19．(2005年高考·辽宁卷12)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ A ）
A B C D
20．(2005年高考·江西卷·理10文10)已知实数a, b满足等式下列五个关系式
①0为 （ A ）
A．（1，2）∪（2，3） B．
C．（1，3） D．[1，3]
22．(2005年高考·重庆卷·理3文3)若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是 （ D ）
A． B． C．D．（－2，2）
23．(2005年高考·重庆卷·文5)不等式组的解集为 ( C )
A． B． C． D．
24．(2005年高考·江苏卷2)函数的反函数的解析表达式为 ( A )
A． B．
C． D．
25．(2005年高考·浙江卷·理3)设f(x)＝，则f[f()]＝ ( B )
A． B． C．－ D．
26．(2005年高考·浙江卷·文4)设f(x)＝|x－1|－|x|，则f[f()]＝ ( D )
A．－ B．0 C． D． 1
27．(2005年高考·浙江卷·文9)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ( B )
A． B． C． D．1
28．(2005年高考·山东卷·理2文3)函数的反函数图像大致是（ B）

A． B． C． D．
29．(2005年高考·山东卷·理11)，下列不等式一定成立的是 （ A ）
A． B．
C．
D．
30．(2005年高考·山东卷·文2)下列大小关系正确的是 （ C）
A．； B．；
C．； D．
31．(2005年高考·天津卷·文2)已知，则 ( A )
A． 2b>2a>2c B．2a>2b>2c C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
32．(2005年高考·天津卷·理9)设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为 （ A ）
A． B． C． D．
33．(2005年高考·天津卷·理10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
34．(2005年高考·天津卷·文9)若函数在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 (　D)
A． B． C．(0,+¥) D．
35．(2005年高考·天津卷·文10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 (　B)
A． f(1.5)·理8文8)设，函数，则使取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
38．(2005年高考·全国卷Ⅰ·文7)的反函数是 （ C ）
A． B．
C． D．
39．(2005年高考·全国卷II·理3)函数的反函数是 （ B ）
A． B．
C． D．
40．(2005年高考·全国卷II·文3)函数的反函数是 （ B ）
A． B．
C． D．
41．(2005年高考·全国卷Ⅲ·理6文6)若，则 （ C ）
A．a （ A ）
A．－2
当时，上述结论中正确结论的序号是 .②③
5．(2005年高考·北京卷·文11)函数的定义域为 .
6．(2005年高考·上海卷·理1文1)函数的反函数=__________.
7．(2005年高考·上海卷·理2文2)方程的解是__________. x=0
8．(2005年高考·福建卷·理16文16)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=
。（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x) ③原点，－3－log2(x) ④直线y=x, 2x－3
9．(2005年高考·广东卷11)函数的定义域是 . {x|x<0}
10．(2005年高考·湖北卷·文13)函数的定义域是 .
11．(2005年高考·湖南卷·理14文14)设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)＝　 　.－2
12．(2005年高考·江西卷·理13文13)若函数是奇函数，则a=
13．(2005年高考·江苏卷13)命题“若，则”的否命题为_____________________。若，则
14．(2005年高考·江苏卷15)函数的定义域为_____________________。
15．(2005年高考·江苏卷16)若，，则k =______________。-1
16．(2005年高考·江苏卷17)已知a，b为常数，若，，则_________。2
17．(2005年高考·浙江卷·理11文11)函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是_________．
18．(2005年高考·天津卷·理16)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________. 0
19．(2005年高考·天津卷·文15)设函数，则函数的定义域为__________ (-2,-1)È(1,2)
21．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理13文13)若正整数m满足155

三、解答题
1．（本小题满分12分）(2005年春考·北京卷·理15)
设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：
（1）集合M，N；
（2）集合，．
本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解：（Ⅰ）

Ⅱ）
.
2．（本小题满分12分）(2005年春考·北京卷·文15)
记函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：
（1）集合M，N；
（2）集合，．
本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）
.
3．（本小题满分14分）(2005年高考·广东卷19)
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
解: (I)　由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数．
由
,　从而知函数是以为周期的函数．
若是偶函数，则．又，从而．
由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾．
所以，函数是非奇非偶函数．
(II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且．由于函数是以为周期的函数，故．所以在区间[－2000,2000]上，方程共有个解．
在区间[2000,2010]上，方程有且只有两个解．因为
，
所以，在区间[2000,2005]上，方程有且只有两个解．
在区间[－2010,－2000]上，方程有且只有两个解．因为
，
所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解．
　　综上所述，方程在[－2005,2005]上共有802个解.
(2005年高考·浙江卷·理16)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

4．(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(Ⅲ)(文20)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时，，此时不等式无解
当时，，解得
因此，原不等式的解集为
（Ⅲ）(文20)
①

②
ⅰ）
ⅱ）

5．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷Ⅰ·文19)
已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.
（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.
本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式

（Ⅱ）由
及
由 解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
6．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II·理17)
设函数的取值范围.
本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分12分
解：由于是增函数，等价于　　　　①
（1） 当时，，①式恒成立。
（2） 当时，，①式化为，即
（3） 当时，，①式无解
综上的取值范围是

用心 爱心 专心