《椭圆及其标准方程》.doc

《椭圆及其标准方程》教学设计

宋

素

芳

二○一五年十月

《椭圆及其标准方程》
一、教材分析
本节课是人教A版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》的第2.1.1节《椭圆及其标准方程》的内容。这节课是椭圆的起始课，在此之前，学生对椭圆的认识主要来自于直觉感知，认识较为肤浅，为了使学生掌握椭圆的本质特征，本节课先设计让学生用细绳和铅笔动手画椭圆，分析生成椭圆的几何条件，并给椭圆下定义，让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，再运用求曲线方程的方法推导出椭圆的标准方程，让学生从形与数两个方面全面认识椭圆及其标准方程。这节课内容既是对前面求曲线方程方法的具体运用，也是后面学习圆锥曲线方程及其性质的基础，具有承前启后的作用。
二、教学目标
知识目标： 1、椭圆的定义、焦点、焦距；
2、椭圆的标准方程
能力目标： 1、使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距；
2、使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
情感目标： 1、培养学生运动变化的观点；
2、增强学生求美、求简的意识。
三、教学重点与难点
1．教学重点：椭圆的定义与标准方程。
2．教学难点：椭圆标准方程的推导----比较复杂的根式化简。
四、教学方法
启发式，探究式
五、教学过程设计
问 题
设计意图
师生活动
1、请同学们在日常生活中寻找（或从网上查找）椭圆的形象。

从感性认识入手，让学生通过自己的努力，体会椭圆在各领域中的广泛应用。
学生回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示学生寻找的椭圆模型。

2、如何画椭圆的呢？

培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。
学生动手操作。教师可提示注意事项：
〈1〉固定在两点F1、F2，
〈2〉固定绳长大于∣F1F2∣
〈3〉套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。
3、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？

培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定义奠定基础。
共析画图过程中的“变”与“不变”的条件M F1，M F2都在变化，但∣MF1∣+∣MF2∣的长度保持不变。
4、给出椭圆定义。把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于∣F1F2︳）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。

5、为什么常数必须大于
∣F1F2︳？

让学生注意到形成椭圆的条件。
师生共析，总结：
（1）∣MF1∣+∣MF2∣＞
∣F1F2︳时为椭圆；
（2）∣MF1∣+∣MF2∣=
∣F1F2︳时为线段；
（3）∣MF1∣+∣MF2∣＜
∣F1F2︳时不表示任何图形。
问 题
设计意图
师生活动
6、如何用集合表示M点所满足的几何条件？
使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。
学生回答：教师板书P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜

7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？
推导曲线方程时，建立坐标系要适当。使学生清楚一般的建系原则：原点取定点或定线段的中点，坐标轴取定直线或图形的对称轴上。
师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴（或X轴），建立直角坐标系。（两种建系方案）
完成“建系”，设动点Mx，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C＞0），则F1（－C，0），F2（C，0），又设M与F1、F2的距离和等于2a（板书）
8、请同学们来表示M到F1、F2的距离∣MF1∣，
∣MF2∣
巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。

∣MF1∣=
∣MF2∣=
由P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜得+=2a

9、如何整理化简上式？

巩固根式化简----两边平方。
教师展示化简过程。
得椭圆形标准方程：
（a﹥b﹥0）
焦点在X轴上；
焦点在Y轴上的椭圆标准方程：
(a﹥b﹥0)

问 题
设计意图
师生活动

10、仔细观察椭圆的两个标准方程有特点是什么？如何区别它们？

让学生深入认识椭圆的两个标准方程

教师引导学生总结。
（1）形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（2）方程中，X2和Y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；（3）由椭圆标准方程可以求出三个参数的a，b，c值；
（4）方程中三个参数满足
a=b+c
11、知识应用
例1 写出适合下列条件的椭圆方程
〈1〉a=3，b=1，焦点在x轴上。
〈2〉a=5，c=2，焦点在y轴上。
（通过例1的练习，让学生熟悉椭圆的标准方程）
例2 椭圆的两个焦点坐标分别是（–4，0）、（4，0椭圆上一点Ｐ到两焦点的距离
之和等于10,求椭圆的标准方程
（通过例2的应用，让学生熟悉椭圆的定义并提炼求标准方程的方法）
12、归纳总结：一个概念——椭圆的概念；
二个方程——椭圆的两个标准方程；
二个方法——根式化简方法和求标准方程的方法；
二个意识——求简、求美的意识。
13、布置作业：课本习题2.1A组P423题，完成课堂练习。
六、教学反思
本节课的内容大体可分为三块：椭圆的概念、椭圆的标准方程、知识应用。之前学生对椭圆的认识只是直观感知，通过本节课学习使学生从感性认识上升为理性认识，形成正确的椭圆概念，所以理解椭圆的本质特征是掌握椭圆概念的关键。为此，设计了三个问题帮助学生认识椭圆的概念。接下来从引导如何建系到推出两个标准方程也设计了四个问题，使学生能够循循渐进、逐层深入地理解椭圆标准方程的推导过程，从而得到椭圆的标准方程。第八个问题是为知识应用打基础的，要想应用知识首先就要分清这两个标准方程，所以后面的两个例题就是针对两个标准方程而设计的。由于前两个内容为这节课的重点占去了大部分的时间，所以知识应用的时间就有点仓促，题型也很基础，主要侧重于从数的角度来认识椭圆的标准方程，即围绕如何根据椭圆的标准方程求出的值以及如何根据已知条件求出椭圆的标准方程两个方面来设计例题，以达到及时巩固、突出重点的目的。至于椭圆定义的灵活运用，由于时间的关系，只好留待下节课再展开。

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