高三数学-棱柱、棱维、球教案同步教案-新人教A版.doc

第九章 直线、平面、简单几何体（三）

本讲主要内容
棱柱、棱维、球
学习指导
1． 通过这一讲内容的复习，加深对棱柱、棱维、球的几何概念、性质，直观图的画法等的理解记忆，掌握有关的体积，
表面积计算公式，巩固第一部分所学的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，从而进一步培养我们的空间想象能力。
2． 棱柱与棱锥的性质
（1）棱柱：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
（2）棱锥：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面是相似的多边形，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。
例题选讲
例1．斜三棱柱~中，各棱长都是a，
（1）求证：侧面是矩形：
（2）求点B到侧面的距离
证明：（1）设在底，而ABC上的射影为O，连结AO，由已知，所以O是三角形ABC的外心。
又AB=BC=CA 所以O是三角形ABC的垂心 所以 所以，因为所以，所以四边形是矩形。
解（2）因为 所以B左侧面上的射影H即为三角形的中心，连结，在Rt中，即点B到侧面的距离为。
注：（1）将柱体化为正四面体解决，比证明线面垂直要简洁；
（2）在三棱锥P—ABC中，顶点P在底面ABC上的射影为OO在三角形ABC的内部）
①若PA=PB=PC，或者PA、PB、PC与底面成等角，则O是ABC的外心；
②若三侧面与底面成等角，或P到底面三边等距离，则O是ABC的内心；
③若PA、PB、PC两两互相垂直，或有两组对棱互相垂直，则O是ABC的垂心。

例2．在三棱锥P—ABC中，已知AB=1，AC=2，的平分线AD=1，且棱锥的三个侧面与底面都成角。
求：（1）三棱锥的侧面积 （2）三棱锥的高
解：（1）设 则
又
所以，即而，所以，所以
所以 过P作平面ABC，连结AO、BO，过O作于E，连结PE，
由三垂线定理可知；PE，所以为侧面PAB与底面ABC所成的角 即，又
，，而
同理可得：， 由①＋②＋③得：

（2）由得 在中，由余弦定理得：

三棱锥的各侧面与底面所成二面角相等。 点应是的内心 应是内切圆的半径

高
注：如果棱锥的各个侧面与底面成等角，容易证明：。
例3．如图所示，矩形ABCD所在平面，，M、N分别是AB、PC的中点。
（1）求证：平面平面PCD；
（2）若二面角N—MD—C为，求AB的长。
证明：（1）平面ABCD 是矩形 平面PAD取CD的中点E，连结NE、ME 是的中位线 又是矩形对边中点的连线 平面平面PAD 平面MNE 于是 连结PM、MC，易知 又 故平面PCD
解（2）连AC交ME于O，则O是AC的中点 平面ABCD
过O作于F，连NF，则 是二面角N—DM—C的平面角
，易知
所以，设DE=X，则 所以
例4，如图，在正四棱柱ABCD~中，底面边长为，侧棱长为，E，F分别是的中点，求证：平面平面

证明：因为四棱柱ABCD~，是正四棱柱，而AB=，，所以，设AC交BD于O，则O是AC的中点，所以设E、F分别是AB的中点，所以EF//AC，于是，设垂足为，在对角面中，因为，OB=1，，所以，因为，，所以，因为所以，即，这样已证得， 而EF与是平面内的两相交直线，于是平面，因为平面 所以平面平面
注：在处理比较复杂的立几问题的，由于空间图形很难真实反映元素间的位置关系，因此，若把在同一平面内的一部分图形画在辅助的平面图形上，往往可以很容易地用平面几何方法来处理。

例5．在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PBA的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且
求证：（1）平面GEF平面PBC；（2）GE是PG•BC的公垂线。
证明：（1）因为，所以PA平面PBC，连结BG并延长交PA于M，因为G是三角形PBA的重心，所以，又因为，所以，所以GF//PA，所以GF平面PBC，所以平面GFE平面PBC，（2）取EC的中点D，连结FD，因为，所以FD//PC，由PC=PB得FD=FB，E是BD的中点，所以因为平面PBC，所以EF是GE在平面PBC内的射影，于是GE，取FB的中点N，连GN，因为G是三角形PAB的重心，设，于是，所以GN//QB，所以QB，于是NGPQ，NE//PC，PC平面PAB，所以NE平面PAB，因为NG是GE在平面PAB内的射影，所以GEPQ，因此，GE是PG和BC的公垂线。

例6．过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a。
（1） 求二面角B—PC—O的大小；
（2）求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。
解：（1）连结AC，BD，因为PA平面ABCD，BDAC，所以由三垂线定理知：BDPC，在平面PBC内，作BEPC，E为垂足，连结DE，得PC平面BED，从而DEPC，即角BED是三面角B—PC—D的平面角，在RtPAB中，由PA=PB=O得，PB，因为PA平面ABCD，BCAB，所以由三垂线定理得：BCPB，所以，在RtPBC中，， 同理可得，在三角形BDE中，由余弦定理得所以=120，即二面角B—PC—的大小为120。（2）过P作，则PQ在平面PAB内，因为AB//CD，所以PQ//CD，PQ在平面PCD内，所以平面PAB与平面PCD的交线为PQ，因为PAAB，所以PAPQ，因为PA平面ABCD，CDAD，由三垂线定理的逆定理得CDPD，所以PDPQ，所以是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，因为PA=AB=AD，因为，即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45。
注：第（2）题中辅助线PQ是根据三个平面PAB，PCD，ABCD两两相交得到的三条交线，其中两条交线AB、CD互相平行，所以第三条经过P点的交线也必须和AB、CD平行而设计添加的。
如果将原图补成如下图所示的正方体ABCD—PQRS，那么本例的解题途径将能更简捷地得到，这种补形法是解决空间问题的一种重要方法。

巩固与练习
一、 选择题
1．若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （
A． B．　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．
２．已知正三棱锥的一个侧面与底面面积之比是，则此三棱锥的高与斜高之比是 （ ）
A．　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．１
３．若侧面都为直角三角形的正三棱锥的底面边长为a，则它的全面积等于 （ ）
A．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　Ｄ．
４．在正三棱锥Ｐ—EFG中，已知底面边长EF为a,侧棱长为b，过PE、PF、FG的中点作一截面，则此截面面积等于（ ）
A．　　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．，其中
５．已知正本棱锥的底面边长为a，且侧面都是直角三角形，则它的全面积等于　　（　　　　　　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　Ｄ．
６．在棱锥p—ABCD中，已知底面ABCD是正方形，两侧面PAD.PDC垂直于底面，另两个侧面与底面都成角，且最长的侧棱长为15，则此棱锥的高等于 （ ）
A．12 B．　　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．
７．侧面为正三角形的正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为 （ ）
A．　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
８．若一个正四棱锥的中截面面积是Q则它的底面边长是 （ ）
A．　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
９．一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都为，若此棱锥的底面面积为S，则已的侧面积等于 （ ）
A．　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．２Ｓ
10．若正六棱锥的底面边长为2，高为1，则其顶点到底面各边的距离等于 （ ）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．２　　　　　Ｄ．
二、 填空题
11．在正三棱锥中
（1）若底面边长为，侧棱长为2，则其高是 ；
（2）若侧棱长与底面边长之比为2：3，则高与斜高之比等于 ；
（3）若底面边长为a，侧棱与底面所成的角是，则斜高等于 ；
（4）若棱长都是a，则以各侧面中心为顶点的三角形面积等于 ；
（5）若侧棱长为cm，底面边长为2cm，则侧面与底面所成二面角的正弦值为 。
12．（1）已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PB垂直于底面，并且PB=，则的正弦值等于 ；
（2）若正四棱锥的底面积为Q，侧面积为P，则侧面与底面所成的角的余弦值等于 ；
（3）已知正四棱锥的侧棱与底面成角，则此四棱锥的两个相邻侧面所成二面角的余弦值等于 。
二，解答题。
13．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2a的菱形，，PA平面ABCD，且，求：
（1） 平面PBD与底面ABCD所成的角； （2）点A到平面PBD的距离。
14．在长方体AC中，，AB=BC=4，O为底面的中心，点E为棱的中点。
（1） 求二面角E—AB—O的大小；（2）求异面直线AB与E所成角的大小；（3）求三棱维—ABE的体积。

15.已知正四棱锥P－ABCD各条棱长均为13,M、N分别为PA与BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8,
(1) 求证直线MN∥平面PBC;
(2) 求线段MN的长;
(3)求异面直线MN与AD所成的角的大小(用反三角函数表示).

16、四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，侧棱长为b(0ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，
侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.

19．（本题满分12分）如图在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两互

F
相垂直，E、F分别是AB、AC的中点.求平面BCD与平面EFD所成二面角的正切值.

参考答案

1．D； 2．Ａ；３．Ａ；４．Ａ；５．Ｂ；６．Ｂ；７．Ｃ；８．Ｄ；９．Ｃ；１０．Ｃ；１１．（１）；（２）２：　（３）（４）（５）　　１２．（１）（２）（３）－　１３．（１）
（２）
15.（1）证明：作ME//AB交PB于E，作 NF//DC 交BC 于F

16.
解：（1）作A1O⊥底面ABCD , O为垂足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

17．（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，∴BC⊥侧面SAB，AE侧面SAB，
∴AE⊥BC，又∵SC⊥截面AEKH. ∴AE⊥SC，∴AE⊥侧面SBC，∴AE⊥KE，同理AH⊥HK.

∴A、E、K、H四点共同，且AK是圆的直径.
18．解：如图，过B作BM⊥AA1，垂足为M，连结CM. ∵侧棱AA1和
AB、AC都成45°，∴△AMB≌△CMA，∴CM⊥AA1，于是截面
MBC是斜三棱柱的直截面.由已知.
∴斜棱柱的侧面积
19．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥底面BCD.设平面EFD∩平面BCD=l，取EF、BC的中点
分别为M、N，连结DM、DN.∵AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两重直，∴BC=CD=BD=，
DE=DF=，且DM⊥EF，DN⊥BC. 又∵EF∥BC∥l，∴DM⊥l，DN⊥l. ∴∠MDN就是平面BCD
与平面EFD所成二面角的平面角. 在△MND中，，
. 连结AN，则AN必过M且

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用心 爱心 专心