第一章 直角三角形边的关系(4).doc

直角三角形边的关系
知识梳理
1、正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，
即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2、正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即sinA=∠A的对边/斜边；
3、余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即cosA=∠A的邻边/斜边；
4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，
即cotA=∠A的邻边/∠A的对边；
5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：
若∠A 为锐角，则①sinA = cos(90°−∠A）等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。
7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系：
tαnα·cotα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1
8、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；
（2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
（3)边与角之间的关系：sinα等；
（4）面积公式；
（5）直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为(a+b-c)/2；
6）直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。
A
B
C
典型例题
1．如图，，是河岸边两点，是对岸边上的
一点，测得，，米，
则到岸边的距离是 米。。
2． 。
3．一天在升旗时小苏发现国旗升至5米高时，在她所站立的地点看国旗的仰角是，当国旗升至旗杆顶端时国旗的仰角恰为，小苏的身高是1米6，则旗杆高 米。（将国旗视作一点,保留根号）
4．在中，若，，，则的周长为 。
5．在中，若为锐角，且，，
则 。(精确到1秒)
6．在中，，且两条直角边满足，则
等于（
A．2或4 B．3 C．1或3 D．2或3
A
B
C
D
7．如图，在中，，是中线，，求和。(5分)

8．如图，甲楼每层高都是米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为，两楼相距有多远？（结果精确到米）(5分)

9．一艘船由A港沿东偏北方向航行20千米至B港，然后再沿东偏南方向航行20千米至C港，求：（1）A，C两港之间的距离（结果精确到千米）
（2）确定C港在A港的什么方位？(5分)

A
B
C
D
10．如图，是一防洪堤背水波的横截面图，斜坡AB的长为13米，它的坡角为，为了提高防洪堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比的斜坡AD，求DB的长（结果保留根号）(6分)

11．如图，气象大厦离小伟家80米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是，而大厦底部的俯角是，求该大厦的高度（结果精确到米）(7分)

80米

150
60

A
B
C
D
12．燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图是一个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B为，外口宽AD=150mm，燕尾槽的深度为60mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）(6分)

课后作业
1．在中，已知，则 ； 。（精确到1秒）
2．比较下列三角函数值的大小：（用“”小于号连接）
，它们的大小为： 。
3．若是锐角，，则 。
4．若是锐角，，则 。
5．化简： 。

6．在一个钝角三角形中，如果一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个锐角的余弦值（ ）
A．都没有变化 B．都扩大3倍
C．都缩小为原来的 D．不能确定是否发生变化
7．在中，，对边分别为，则

等于（ ）
A． B． C． D．
8．解，，对边分别为，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．计算结果是（ ）
A． B． C． D．
10．若，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
11．等腰三角形的顶角是，底边上的高为30，则三角形的周长是（ ）A． B． C． D．
12．在中，对边分别为，，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．

13．不用计算器计算：（共14分，第（1）题4分，2，3小题各5分）
（1） （2）

（3）

14、如图，CD是平面镜，光线从A出发经CD上点E发射后照射到B点。若入射角为α，
B
α
A
C
E
D
AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=11求tanα的值。

A
B
C
D
15、在，，，求的值。
16、如图，在中，，是中线，，求AC的长。

17、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为450（如图所示），求挖土多少立方米。

18、如图10，在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC与地面成45°角，试求两根拉线的长度．

19、如图11为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

20、如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β(此时C、D、B三点在同一直线上).
(1)用含α、β和m的式子表示h ；
(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h的值.
（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）