一边长为2a的载流正方形线圈.doc

第二章 练习题
1. 一边长为2a的载流正方形线圈，通有电流I。试求：(1)轴线上距正方形中心为r0处的磁感应强度；(2) 当a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm时，B等于多少特斯拉？

解 （1）沿轴向取坐标轴OX，如图所示。利用一段载流直导线产生磁场的结果，正方形载流线圈每边在点P产生的磁感应强度的大小均为:
,式中:

由分析可知，4条边在点P的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中AB边在P点的 B1方向如图所示。由对称性可知，点P上午B应沿X轴，其大小等于B1在X轴投影
的4倍。设B1与X轴夹角为α则:

把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=3.9×10-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=2.8×10-7(T)。可见，正方形载流线圈中心的B要比轴线上的一点大的多。

2. 将一根导线折成正n边形，其外接圆半径为a，设导线载有电流为I，如图所示。试求：(1)外接圆中心处磁感应强度B0；(2) 当n→∞时，上述结果如何？
解: （1）设正n边形线圈的边长为b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即：
所以，n边形线圈在O点产生的磁感应强度为：
因为2θ=2π/n,θ=π/n，故有： 由右手法则，B0方向垂直于纸面向外。
（2）当n→∞时，θ变的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述结果中，得：

此结果相当于一半径为a，载流为I的圆线圈在中心O点产生磁感应强度的结果，这一点在n→∞时，
是不难想象的。

3. 如图所示，载流等边三角形线圈ACD，边长为2a，通有电流I。试求轴线上距中心为r0处的磁感应强度。

解:由图可知，要求场点P的合场强B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边P点产生的磁感应强度Bi ，再将三者进行矢量叠加。
由有限长载流导线的磁场公式可知，AC边在P点产生的磁感应强度 BAC的大小为：

由于⊿ACP为等腰三角形，且PC垂直AC，即：

代入上述结果中，得：
由右手螺旋定则可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外，如图所示。由对称性可知，AC，CD，DA三段载流导线在P点产生的磁感应强度BAC、 BCD、BDA在空间方位上对称，且它们在垂直于Z轴方向上的分量相互抵消，而平行于Z轴方向上的分量相等，所以：
根据等边三角形性质，O点是⊿ACP的中心，故: ，并由⊿EOP可知
sinα=,所以P点的磁感应强度BP的大小为：
磁感应强度BP的方向沿Z轴方向。
4. 一宽度为b的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流I0。P点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为d。如图所示。试求P点的磁感应强度B。

解: 建立坐标轴OX，如图所示，P点为X轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载流导组成，取其任意一条载流线，其宽度为dx，上载有电流dI=I0dx/b，它在P点产生的场强为：

dB的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线P点激发上的磁感应强度dB具有相同的方向，所以整个载流金属板在P点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的dB的代数和，即：

BP方向垂直纸面向里。
5 两根导线沿半径方向引到金属环上的A、C两点，电流方向如图所示。试求环中心O处的磁感应强度。

解: 由毕-萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心O，因此她们在O点产生的磁感应强度为零。图中电流为I1的大圆弧在O点产生的B2的方向垂直纸面向里。应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小为:
则O点的磁感应强度的大小为:
设大圆弧和小圆弧的电阻为R1、R2，则:

有: , 因大圆弧和小圆弧并联，故I1R1 = I2R2，即:,代入表达式得B0=0。
6 如图所示，一条无限长导线载有电流I，该导线弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，试求焦点的磁感应强度B。

解: 本题采用极坐标。用毕-萨定律得电流元Idl在焦点P处产生的磁感应强度为:
　　 , 由于Idl与r的夹角为θ，由图可知，Idlsinθ=Irdψ,
所以dB的大小为: , 方向由右手螺旋定则可知，
垂直纸面向外。由于所有电流元Idl在P点产生的磁感应强度方向相同，所以P点
的总产生的磁感应强度为: ,因抛物线的极坐标方程为:
,
因此
:
7 如图所示，两块无限大平行载流导体薄板M、N，每单位宽度上所载电流为j，方向如图所示，试求两板间Q点处及板外P点处的磁感应强度B。

解: 无限长载流直导线产生磁感应强度的公式B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q点激发的磁感应强度BM的大小为：, dBx = -dBcosα，dBy = dBsinα由对称性可知：, 设Q点到M板的垂直距离为a，则：
由几何关系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入上式：
BM的方向沿X轴方向，因此，Q点的磁感应强度BM+BN=0，采用同样的方法得，M板在P点产生磁感应强度为：
N板在P点产生磁感应强度为：,表明在P点两块板产生磁感应强度相同，所以P点的B为B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X