希望杯复赛数论题大合集(涵括历年数论题及详细解析).doc

奇数与偶数
质数与合数
约数与倍数
1. (2006年希望杯第四届四年级二试第7题，4分)
一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。
解答：56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。
2. (2007年希望杯第五届四年级二试第4题，5分)
在，，，，，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。
解：45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936.
整除
3. (2008年希望杯第六届四年级二试第15题)连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？
【分析】 因为连续个自然数可以被整除，而且最后一个自然数都是的倍数，因为是的倍数，所以是的倍数，又因为
，所以
除以，得到的余数是。
余数
4. (2004年希望杯第二届四年级二试第15题，6分)小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。
【答案】这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人

5. (2008年希望杯第六届四年级二试第3题)
一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【分析】 因为最大的三位数为，，所以满足题意的三位数最大为：
6. (2009年希望杯第七届四年级二试第2题，5分)
某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 。

【答案】125
周期
7. (2004年希望杯第二届四年级二试第3题，6分)、、、、、……是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的计算结果是 。
【答案】规律是，第一个加数是公比为2的等比数列，第二个加数是差为2的等差数列，所以第六个式子是96+2=98
8. (2004年希望杯第二届四年级二试第14题，6分)如图5所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。

【答案】边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格
9. (2004年希望杯第二届四年级二试第19题，10分)将若干个边长为1的正六边形（即单位六边形）拼接起来，得到一个拼接图形。例如：

那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形。
【答案】4、5、6、7
10. (2008年希望杯第六届四年级二试第4题)
小明按1~5循环报数，小花按1~6循环报数，当两个人都报了600个数时，小花报的数字之和比小明报的数字之和多________________。

【分析】 小花一个循环报的数字之和为：，小明一个循环报的数字之和为：，小明一共报了（组），小花一共报了（组），所以小花报的数字之和比小明报的数字之和多：。

11 (2008年希望杯第六届四年级二试第8题)
已知一列数：5，4，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，，3，……，由此可推出第2008个数是____________。

【分析】 观察数列发现，除前两个数字之外，，，，，，六个数字周期出现，因为，所以第个数是。
进位制及位值
12. (2003年希望杯第一届四年级二试第18题，10分)
一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差。

【答案】abc-cba个位是7，明显a大于c，所以10+c-a=7，a-c=3，所以他们的差为297

13 (2004年希望杯第二届四年级二试第11题，6分)如果一个数的所有数位上的数字的和是10，那么满足条件的最小的四位数是 。
【答案】1009

14. (2009年希望杯第七届四年级二试第14题，15分)
，，，依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足———= 1787。求：这四位数。
【答案】2009或2010。
奇数与偶数
质数与合数
1. (2004年希望杯第二届五年级二试第5题，6分)
都是质数，如果，那么 。
【解析】由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以与为一奇一偶，则或者为质数2，令，而342=2×3×3×19，则或者或者，对应的为7或者55或者169，只有7是质数，所以=7。

2. (2006年希望杯第四届五年级二试第8题，4分)
如果，均为质数，且3+7=41，则+=________________。
【解析】因为41是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且，均为质数，所以，中必有一个是2。假设=2，则=（41-6）÷7=5。所以+=7。
约数与倍数
3. (2003年希望杯第一届五年级二试第7题，4分)
向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字。现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次。

【解析】2的10次方为1024，2的11次方为2048，所以需要操作11次。

4. (2009年希望杯第七届五年级二试第3题，5分)
100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。
【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0，共33个，他们的和是，则他们的平均数为1683÷34=49.5。
整除
5. (2003年希望杯第一届五年级二试第3题，4分)
六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是 。
【解析】试除法200399÷99=202423，所以最后两位是99-23=76。

6. (2004年希望杯第二届五年级二试第4题，6分)
若四位数能被15整除，则代表的数字是 。
【解析】15=3×5，能被15整除，那么能同时被5和3整除。
能被5整除，看个位，那么只能是0或5；
但是当=0，9080不能被3整除；
当=5时，9+5+8+5=27是3的倍数，所以=5。
奇数与偶数
质数与合数
1. (2006年希望杯第四届六年级二试第9题，4分)
如果a，b均为质数，且3d＋7b＝41，则a＋b＝________。
【解析】根据奇偶性我们可以知道a、b中必然有一个是2，若a=2，则b=7,满足题意；若b=2,则a=9，与题意不符。所以a为2、b为7，则a+b=9。
约数与倍数
2. (2006年希望杯第四届六年级二试第15题，4分)
体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让 所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。
【解析】可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有60-28=32人。

3. (2009年希望杯第七届六年级二试第5题，5分)
已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B= 。
【答案】60
整除

4. (2007年希望杯第五届六年级二试第10题，5分)已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是_______。

考点：数论、最值问题
一级提示：怎样构造和与积都等于2007的一组自然数？
二级提示：怎样构造才能使数的个数最多？
【答案】1781。
【分析】
为了构造和与积都等于2007的一组自然数，首先把2007拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足。
容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的1也就越多。
2007的质因数分解式是32×223，3+3+223=229，还需要补2007-229=1778个1。
所以共有1781个。

5. (2008年希望杯第六届六年级二试第9题，5分)
有一个不等于0的自然数，它的是一个立方数，它的是一个平方数，则这个数最小是____________ 。
分析：设为(为不含质因子2、3的整数)，则它的是是立方数，所以是3的倍数，是3的倍数，另外它的即是一个平方数，所以是偶数，是奇数，符合以上两个条件的的最小值为4，的最小值为，这个数最小为432。

余数

6. (2007年希望杯第五届六年级二试第8题，5分)
2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行地2试的日子，那么这天以后的第2007＋4×15天是星期________。

考点：周期、余数
一级提示：计算星期，属于哪类问题？
二级提示：有什么简单的方法可以计算？
【答案】2。
【分析】
计算星期属于余数问题，也就是考虑被7除的余数。
因为2002被7整除，所以2007被7除余5；
又因为15被7除余1，所以2007+4×155+4×1(mod7)，5+4×1=9，被7除余2，所以是星期二。

7. (2008年希望杯第六届六年级二试第6题，5分)
某小学的六年级有一百多名学生，若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人。该年级的人数是___________。
分析：符合第一、第三条条件的人数为的最少人数为3×7+1=22人，经检验，22也符合第二个条件，所以22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3×5×7=127。

周期

进位制及位值

8. (2008年希望杯第六届六年级二试第4题，5分)
一直三位数abc与它的反序数的和等于888，这样的三位数有_________个。
分析，显然、都没有发生进位，所以、，则，、的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种。所以这样的三位数有7种。