人教小学数学四年级古代鸡兔同笼问题和算法.docx

古代鸡兔同笼问题及多种算法
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
　　题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。
　　现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。
　　我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。
　　我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y
那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。

 “鸡兔同笼”问题，是我国古代著名数学趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》里记载了这个有趣的问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上（共）有三十五头，下（共）有九十四足，问雉兔各几何？”
    从代数学科的角度看来，这是一个解方程组的问题，其解法非常简单，方法容易掌握。由于我国古代没有代数方法，对一些算题，采用的都是因题而异，个性特强的巧妙解法。今人把这种代数方法（设未知数、列方程）之外的算术解法统称为古算法。
    我国历来对诗歌追崇简练优美，对古算法也一样。一个巧妙精简的解法，往往受到众人的推崇，称赞其解者聪明，而对其他较繁杂的解法，统统嗤之以鼻。今天看来，这是不对的。我们要知道，这种古算法看似简单漂亮，构思巧妙，但缺点是就题论题，其方法适用面窄，学生也不易掌握，只能是解者孤芳自赏。明明有车不让上，偏偏要人徒步行。也许有人会说，这是为了培养学生的思维方法。但我们觉得，这样培养出来的思维方法，往往不适应现代计算机的逻辑和特点，也与现代的科学实验方法格格不入。要求中小学生都
去掌握，实是得不赏失。多年来，情况越来越糟，有些想露一手的教师反而把一些原属于不定方程组的问题，退化变形为算术题，让学生去钻牛角尖，实是误人子弟。笔者认为对古算题，应该像对古诗、棋类一样，只可以让少数人去欣赏去钻研，不应强求所有人掌握，要提倡数学中的“白话文”。
    实际上，作为培养学生的思维方法，除了代数方法之外，还有一些思路自然又易掌握的好解法，尽管它比较繁琐，不怎么漂亮，但它的思维与现代科学比较合拍。至于它的步骤繁琐这一问题，在当今计算机时代则已不是什么问题，反而是一个优点。笔者这里要谈一个思路自然比较容易掌握，而又有现代色彩的方法——“先试验后修正法”。
    对于古算题，这个方法是先强行去掉（隐去）一些未知元，化为一个较简单的问题，求出其“参考解”，然后依靠这个“参考解”逐步去逼近真正的解。这种思维方法在现代科学和现代技术里，已被证明是最普遍使用，最先试用，而且往往是有效的科研方法。
    下面就几个古算题，来介绍这种“先试验后修正法”（下面简称“另法”），每道题只给出这种“先试验后修正法”。至于该题可能有的，个性特强的巧妙古算解法，因在别的地方可以找到，又不是这里的话题，就不再写出。考虑到谈这些，学术性强，比较乏味，放在博客里不太合适，这里只谈极少数几个例题。
    题1。“鸡兔同笼”问题。有若干只鸡兔同处一个笼子，从上面数有35个头；从下面数有94只脚。问笼中各有几只鸡和几只兔？
    解（另法）。用“先试验后修正法” 。先任意设定鸡兔的只数来试验，只要总数是35即可。为了减少计算步骤，居于鸡兔脚数比例是1:2，我们粗约设鸡和兔分别是20只和15只。这时共有100只脚（式2x20+4x15=100），比题意多出6只脚。因1只兔换成1只鸡可减少2只脚，3只兔换成3只鸡就合题意（式6/2=3)，故题解是23只鸡和12只兔（式203=23，15-3=12）。注。也可任设别的数对，如假定全是鸡。
    题2.  学校买来3个一样的排球和2个一样的足球,共花去111元。一个足球比一个排球贵3元。问:排球和足球每个是多少元? 
    解（另法）。假定买的全是排球（先强制取消足球这个未知元），一共5个，共105元（式111-2x3=105，两个足球贵6元）,于是每个排球21元（式105/5=21),每个足球就是24元（式21+3=24）。           
    题3。 学校有大中小共12间宿舍，一共可住80人，其中大宿舍每间可住8人，中宿舍每间可住7人，小宿舍每间可住5人，问:大中小宿舍各有几间？
    解（另法）。假定全是大宿舍，一共住12间（先强制取消小宿舍、中宿舍这两个未知元），可住96人（式12x8=96），多出16人（式96-80=16）。如把其中一间大宿舍换成一间小宿舍则可少住3人（式8-5=3），如把其中一间大宿舍换成一间中宿舍则可少住1人（式8-7=1），于是有如下调整后的三个答案：
          答案1.    小宿舍5间，中宿舍1间，大宿舍6间。（式3x5+1x1=16)
          答案2.    小宿舍4间，中宿舍4间，大宿舍4间。 (式3x4+1x4=16)
          答案3.    小宿舍3间，中宿舍7间，大宿舍2间。 (式3x3+1x7=16)

    题4。 鸡兔共100只，同在一个笼子里，兔的脚数比鸡的脚数多70只。问笼中各有几只鸡和几兔？     
    解（另法）。假定鸡兔头数相等，都是50只，这时兔的脚数为200（式50x4=200），鸡的脚数为100（式50x2=100），兔总脚数与鸡总脚数之差为100 ，比题意的70 多。我们将一只兔换成一只鸡，这时兔的总脚数少4，而鸡的总脚数多2，兔总脚数与鸡总脚数之差减少了6。逐步进行，过程如下：
          兔的头数    鸡的头数    兔的总脚数与鸡的总脚数之差
            50          50              100                       初始假设
            49          51               94 （式100-6=94）        第1步
            48          52               88 （式94-6=88）         第2步
            47          53               82 （式88-6=82）         第3步
            46          54               76 （式82-6=76）         第4步
            45          55               70 （式76-6=70）         合题意，
答：笼中有55只鸡和45只兔.
    题5。 今年父母年龄之和是86,母年龄是儿子年龄的3倍.那么当父的年龄是儿子年龄的3倍时,母的年龄是几岁？
    解（另法）。今年父母年龄之和是86，设母今年的年龄是43岁（式86/2=43)来试验,因43除以3除不尽，改取3的倍数42。设母今年的年龄是42岁，则今年儿年龄是14（式42/3=14)，今年父年龄是44(式86-42=44)。一年后，儿年龄是15，父年龄45是儿年龄的3倍，合所求。故那时（一年后）母的年龄是43岁(式42+1=43)。
    注。如今年母的年龄B依次取3的别的倍数39、36、33、30也可以，到那时母的年龄B'也都是43岁。见如下：
    记今年父年龄为A,到那时父年龄为A'；今年儿年龄为C,到那时儿年龄为C',则
          B=39，A=47，C=13，B'=43, A'=51, C'=17.    （4年后）
          B=36，A=50，C=12，B'=43, A'=57, C'=19.    （7年后）
          B=33，A=53，C=11，B'=43, A'=63, C'=21.    （10年后）
          B=30，A=56，C=10，B'=43, A'=69, C'=23.    （13年后）。
                                                                              （未完待续）
 题6.  甲乙丙三学生一共解出100道不同的数学题，但每人只解出其中的60道题。这些题中，若只有一人解出的叫它难题，若只有两人解出的题叫它中等题，若三人都解出的题叫它容易题，问难题比容易题多几道？   
     解（另法）。设甲乙丙三学生做的都是难题，每人做60道难题。因每道难题只有一个人解出，故三学生共解出了180 道题（式3x60 = 180），这比题意多出80道题（式180-100 = 80）。调整如下：把3道难题（分别由3个人解出的）换为1道容易题，题数可少了2道（式3-1 = 2），这样换出40道容易题，总题数就可少了80道。于是有
      甲： 20道难题，0道中等题，40道容易题。
      乙： 20道难题，0道中等题，40道容易题。
      丙： 20道难题，0道中等题，40道容易题。
由于每人的20道难题是互不相同的，三个学生的难题总数就是60道，故难题总数比容易题总数多了20道（式60-40 = 20）。
    题7. 学校举行数学竞赛，共有20道选择题。评分标准是：每做对一题得5分，做错一题扣2分，没做为0分。小红得了73分，问她有几题没有做？
    解（另法）。先算出她最少要做对几道题。因5x15 = 75，则她最少要做对15道题.题意是73分，75-73 = 2，知她错一道题扣2分。答案是她一共做了16道题得了73分，还有4道题没做（式20-16 = 4）。另，她要做对16道题以上，限于只有20道题，是不可能的。 
    题8.古题“以碗知僧”：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，恰合用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹。请问先生能算者，道来寺内几多僧。”题目大意是：一座山中古寺，不知寺内有多少个僧，只知用餐时3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合喝一碗汤，恰好用尽364只碗。问寺里有多少个和尚。
    解。 饭碗数 = 1/3僧数，羹碗数 = 1/4僧数。依题意有，364 = 饭碗数+羹碗数 = 1/3僧数+1/4僧数 = 7/12僧数,即僧数 = 364x12/7 = 624(人）。
    题9.古题“汉果装箱”：千颗罗汉装十箱，顾客买果不拆箱。千颗之内随人买，问君怎样把箱装。
    解。十个箱分别装1，2，4，8，16，32，64，128，256，512颗罗汉即可。
    注。出此题者，已有二进位的原始扑素意识，可惜限于古代社会制度、思想文化意识的紧箍，未能发扬光大，反而弄出不知有什么好处的十六进位来。                                       
　  题10. 一份稿件,甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成。现在甲替乙打一部份后,由乙接着打完,两人共用了7小时。问甲替乙打了多少小时？
    解。甲、乙单独打字速度分别是每小时完成稿件总量的1/6和1/10 ，甲比乙每小时多打出总量的1/15（式1/6 - 1/10 = 1/15）。现在甲替乙打了一段，多打出总量的(10-7)/10 = 3/10 , 故甲替乙打的时间 = （3/10 ）/(1/15) = 9/2 = 4.5(小时). 
    说明。前面谈的“先试验后修正法”，一般适用于离散变量（自然数变量）的方程组情况，不适用于连续变量的情况，如题10。总之，做算术题，除了不能用后面学的代数方法外，有简单方法就用简单方法（如题8），不行就用这种“先试验后修正法”试试，这种方法有枚举的味道。
    上面谈的是平时学习用的，有利于提高思维能力。至于应付考试吗，有一种巧法可以用，但这里不能谈的。