第四章 线性系统的根轨迹法(下).doc

4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数可略去不计。要求：(1) 概略绘出时系统的根轨迹图；(2) 确定增益的取值，使系统闭环极点的阻尼比。(b)图4-47 轧钢机控制系统解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。(1) 绘系统根轨迹图电机与轧辊内回路的传递函数令，系统开环传递函数为式中，。概略绘制根轨迹图的特征数据为：渐近线：交点与交角 分离点：由解出 。根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程列劳思表 1 2 2.5 0.5 1.8 令，得。令代入及，解出。交点处系统概略根轨迹图如图(a)所示。 图(a) 概略根轨迹图(2) 确定使系统的在根轨迹图上，作阻尼比线，得系统主导极点利用模值条件，得处的；分离点处的。由于，故取，可使；取，可使。(3) MATLAB验证时，系统主导极点及增益和根轨迹分离点处系统增益如图(b)所示；系统根轨迹图如图(c)所示。分别令为0.05，0.11，0.4和0.8，系统的单位阶跃响应如图(d)所示。时，系统动态性能 时， 系统动态性能 MATLAB程序：exe423.m% 建立等效开环传递函数模型G=zpk(, -0 -0.5 -1 -1, 1); z=0.707;% 绘制相应系统的根轨迹figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比为 0.707 axis(-0.5 0.1 -0.3 0.3)figure (2) K=0.0612; % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益 hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比为 0.707时, 系统的闭环特征根 axis(-1.5 0.5 -1 1) rlocus(G); % Ka=0.05，0.11，0.4，0.8时的阶跃响应Ka=0.05;% Ka可相应设置numc=0.5*Ka; denc=1 2.5 2 0.5 0;num, den=cloop(numc, denc); % 系统闭环传递函数roots(den); % 系统闭环极点sys=tf(num, den); t=0:0.01:120;figure(3)step(sys,t); grid on; 图(b) 确定以及分离点处的 (MATLAB)图(c) 轧钢机系统根轨迹图 (MATLAB) (1) (2) (3) (4) 图(d) 轧钢机系统时间响应 (MATLAB)4-24 图4-48(a)是鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图。既是一种普通飞机，又是一种直升机。当飞机起飞和着陆时，其发动机位置可以如图示那样，使像直升机那样垂直起降；而在起飞后，它又可以将发动机旋转，切换到水平位置，像普通飞机一样飞行。在直升机模式下，飞机的高度控制系统如图4-48(b)所示。要求：(1) 概略绘出当控制器增益变化时的系统根轨迹图，确定使系统稳定的值范围；(2) 当去时，求系统对单位阶跃输入的实际输出，并确定系统的超调量和调节时间；(3) 当，时，求系统对单位阶跃扰动的输出；(4) 若在和第一个比较点之间增加一个前置滤波器试重作问题(2)。(b) 控制系统图4-48 V-22旋翼机的高度控制系统解 本题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题，其中包括引入前置滤波器，以抵消闭环零点的不利影响，改善系统性能。(1) 绘制系统的根轨迹图由图4-48(b)，系统开环传递函数式中渐近线：交点与交角 分离点：根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程整理得列劳思表 1 2.15 令，解得， 令，代入、及，解得， 绘出系统概略根轨迹图，如图(a)所示。 图(a) 概略根轨迹图由于，因此使系统稳定的值范围为：以及。应用MATLAB软件包，得到系统根轨迹图如图(b)所示。 图(b) 根轨迹图 (MATLAB)(2) 当时，确定系统单位阶跃输入响应应用MATLAB软件包，得到单位阶跃输入时系统的输出响应曲线，如图(c)-(1)中虚线所示。由图可得， 显然，系统动态性能不佳。(3) 当时，确定系统单位阶跃扰动响应应用MATLAB软件包，得到单位阶跃扰动输入下系统的输出响应曲线，如图(c)-(2)所示。由图可见，扰动响应是振荡的，但最大振幅约为0.003，故可略去不计。 (1) 单位阶跃输入响应 (2) 单位阶跃扰动响应图(c) V-22旋翼机的高度时间响应 (MATLAB)(4) 有前置滤波器时，系统的单位阶跃输入响应（）无前置滤波器时，闭环传递函数有前置滤波器时，闭环传递函数可见，与有相同的极点，但有和两个闭环零点，虽可加快响应速度，但却极大增加了振荡幅度，使超调量过大；而的闭环零点被前置滤波器完全对消，因而最终改善了系统动态性能。应用MATLAB软件包，得有前置滤波器时系统的单位阶跃响应如图(c)-(1)中实线所示，其， MATLAB程序：exe424.m% 建立等效开环传递函数模型G=zpk(-0.5 -1, 0 -0.05 -0.1 -2, 1); % 绘制相应系统的根轨迹figure rlocus(G); axis( -1.5,1.5,-1.5,1.5 ); % 系统输入时间响应% 原系统K=280;num1=K 1.5*K 0.5*K; den1=0 0 1 0;num2=1; den2=100 215 30.5 1;numc, denc=series(num1,den1,num2,den2);numr, denr=cloop(numc,denc);sysr=tf(numr, denr) ; t=0: 0.01:80; figure step(sysr,t); hold on; % 添加前置滤波器numf=0.5; denf=1 1.5 0.5;num, den=series(numr,denr,numf,denf);sys=tf(num, den) ; step(sys,t); grid % 系统扰动时间响应K=280;numh=K 1.5*K 0.5*K; denh=0 0 1 0;numg=1; deng=100 215 30.5 1;numn,denn=feedback(numg,deng,numh,denh);sysn=tf(numn, denn) figurestep(sysn,t); grid4-25 在未来的智能汽车-高速公路系统中，汇集了各种电子设备，可以提供事故、堵塞、路径规划、路边服务和交通控制等实时信息。图4-49(a)所示为自动化高速公路系统，图4-49(b)给出的是保持车辆间距的位置控制系统。要求选择放大器增益和速度反馈系数的取值，使系统响应单位斜坡输入的稳态误差小于0.5，单位阶跃响应的超调量小于，调节时间小于。(b) 车辆间距控制系统图4-49 智能汽车-高速公路系统解 本题应用等效根轨迹技术及MATLAB设计软件包，确定多个系统参数的取值。设计过程中，需要综合运用劳思稳定判据、稳态误差计算法、主导极点法以及动态性能估算法等知识。(1) 稳定性要求由图4-49 (b)知，速度反馈内回路传递函数开环传递函数式中，速度误差系数闭环传递函数首先，和的选取应保证闭环系统具有稳定性。列劳思表如下： 1 10 由劳思稳定判据知：使闭环系统稳定的充分必要条件是， 也即， (2) 稳态误差要求根据系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求导出由于要求，故应有，因此要求从系统稳态性能（稳定性与稳态误差）考虑，和的选取应满足由于，故应有。于是，和选取时应满足的条件可进一步表示为显然，取，是一组允许值。的最终确定，可根据对系统动态性能要求去选取。(3) 动态性能要求对于二阶系统，若取阻尼比，则因为要求 故应保证。在平面上，作了和扇形区，令，从，作系统根轨迹。在根轨迹图上，的最终确定应使闭环极点位于扇形区域内。闭环特征方程等效根轨迹方程式中，。根轨迹参数：渐近线： 分离点：由解出 。 图(a) 概略根轨迹图系统等效根轨迹如图(a)所示。图中，复数根轨迹分支与阻尼比线的交点为点处的根轨迹增益，相应的根据模值条件，可以确定第三个闭环极点。此时系统的近似性能 满足全部设计指标要求。基于MATLAB软件包，图(b)给出时的根轨迹增益，用以确定值；车辆间距控制系统根轨迹图，如图(c)所示，图中三角形表示时系统的闭环极点。(4) 设计指标验证由于实际系统为无有限零点的三阶系统，负实极点会增大系统阻尼，减小超调量。这里仅验证设计指标中的动态性能。作MATLAB仿真，可得实际系统的单位阶跃输入响应，如图(d)所示。由图(d)可得系统的动态性能； 即； 结果满足设计指标要求。MATLAB程序：exe425.m% 建立等效开环传递函数模型G=zpk(-4, 0 -3 -7, 1); z=0.6;% 绘制相应系统的根轨迹figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比为 0.6 axis(-5.5 0.5 -6 6)figure (2) K=21.5; rlocus(G); % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益 hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比为 0.6时, 系统的闭环特征根% 控制系统的阶跃响应Ka=86; Kt=0.25;numc=Ka; denc=1 10 21+Ka*Kt 0; % 系统开环传递函数num, den=cloop(numc, denc); % 系统闭环传递函数roots(den); % 系统闭环极点sys=tf(num, den); t=0:0.005:5;figure(3) step(sys,t); grid on;图(b) 确定处的 (MATLAB) 图(c) 控制系统根轨迹图 (MATLAB) 图(d) 控制系统的单位阶跃响应 (MATLAB)129