第四章 线性系统的根轨迹法(下).doc

4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数可略去不计。要求：
(1) 概略绘出时系统的根轨迹图；
(2) 确定增益的取值，使系统闭环极点的阻尼比。

(b)
图4-47 轧钢机控制系统
解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。
(1) 绘系统根轨迹图
电机与轧辊内回路的传递函数

令，系统开环传递函数为

式中，。概略绘制根轨迹图的特征数据为：
渐近线交点与交角

分离点：由

解出
。
根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程

列劳思表
1 2
2.5 0.5
1.8

令，得。令

代入及，解出。交点处

系统概略根轨迹图如图(a)所示。

图(a) 概略根轨迹图

(2) 确定使系统的
在根轨迹图上，作阻尼比线，得系统主导极点

利用模值条件，得处的；分离点处的。由于，故取，可使；取，可使。
(3) MATLAB验证
时，系统主导极点及增益和根轨迹分离点处系统增益如图(b)所示；系统根轨迹图如图(c)所示。分别令为0.05，0.11，0.4和0.8，系统的单位阶跃响应如图(d)所示。
时，系统动态性能
时， 系统动态性能
MATLAB程序：exe423.m
% 建立等效开环传递函数模型
G=zpk([], [-0 -0.5 -1 -1], 1); z=0.707;
% 绘制相应系统的根轨迹
figure (1)
rlocus(G); sgrid(z,'new') % 取阻尼比为 0.707
axis([-0.5 0.1 -0.3 0.3])
figure (2)
K=0.0612; % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益
hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比为 0.707时, 系统的闭环特征根
axis([-1.5 0.5 -1 1])
rlocus(G);
% Ka=0.05，0.11，0.4，0.8时的阶跃响应
Ka=0.05; % Ka可相应设置
numc=[0.5*Ka]; denc=[1 2.5 2 0.5 0];
[num, den]=cloop(numc, denc); % 系统闭环传递函数
roots(den); % 系统闭环极点
sys=tf(num, den); t=0:0.01:120;
figure(3)
step(sys,t); grid on;

图(b) 确定以及分离点处的 (MATLAB)

图(c) 轧钢机系统根轨迹图 (MATLAB)

(1) (2)

(3) (4)
图(d) 轧钢机系统时间响应 (MATLAB)

4-24 图4-48(a)是鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图。既是一种普通飞机，又是一种直升机。当飞机起飞和着陆时，其发动机位置可以如图示那样，使像直升机那样垂直起降；而在起飞后，它又可以将发动机旋转，切换到水平位置，像普通飞机一样飞行。在直升机模式下，飞机的高度控制系统如图4-48(b)所示。要求：
(1) 概略绘出当控制器增益变化时的系统根轨迹图，确定使系统稳定的值范围；
(2) 当去时，求系统对单位阶跃输入的实际输出，并确定系统的超调量和调节时间；
(3) 当，时，求系统对单位阶跃扰动的输出；
(4) 若在和第一个比较点之间增加一个前置滤波器

试重作问题(2)。

(b) 控制系统
图4-48 V-22旋翼机的高度控制系统
解 本题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题，其中包括引入前置滤波器，以抵消闭环零点的不利影响，改善系统性能。
(1) 绘制系统的根轨迹图
由图4-48(b)，系统开环传递函数

式中

渐近线：交点与交角

分离点：

根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程

整理得

列劳思表
1
2.15

令，解得
，
令，代入、及，解得
，
绘出系统概略根轨迹图，如图(a)所示。

图(a) 概略根轨迹图

由于，因此使系统稳定的值范围为：以及。
应用MATLAB软件包，得到系统根轨迹图如图(b)所示。

图(b) 根轨迹图 (MATLAB)

(2) 当时，确定系统单位阶跃输入响应
应用MATLAB软件包，得到单位阶跃输入时系统的输出响应曲线，如图(c)-(1)中虚线所示。由图可得
，
显然，系统动态性能不佳。
(3) 当时，确定系统单位阶跃扰动响应
应用MATLAB软件包，得到单位阶跃扰动输入下系统的输出响应曲线，如图(c)-(2)所示。由图可见，扰动响应是振荡的，但最大振幅约为0.003，故可略去不计。

(1) 单位阶跃输入响应 (2) 单位阶跃扰动响应
图(c) V-22旋翼机的高度时间响应 (MATLAB)
(4) 有前置滤波器时，系统的单位阶跃输入响应（）
无前置滤波器时，闭环传递函数

有前置滤波器时，闭环传递函数

可见，与有相同的极点，但有和两个闭环零点，虽可加快响应速度，但却极大增加了振荡幅度，使超调量过大；而的闭环零点被前置滤波器完全对消，因而最终改善了系统动态性能。
应用MATLAB软件包，得有前置滤波器时系统的单位阶跃响应如图(c)-(1)中实线所示，其
，
MATLAB程序：exe424.m
% 建立等效开环传递函数模型
G=zpk([-0.5 -1], [0 -0.05 -0.1 -2], 1);
% 绘制相应系统的根轨迹
figure
rlocus(G); axis( [-1.5,1.5,-1.5,1.5] );

% 系统输入时间响应
% 原系统
K=280;
num1=[K 1.5*K 0.5*K]; den1=[0 0 1 0];
num2=[1]; den2=[100 215 30.5 1];
[numc, denc]=series(num1,den1,num2,den2);
[numr, denr]=cloop(numc,denc);
sysr=tf(numr, denr) ; t=0: 0.01:80;
figure
step(sysr,t); hold on;
% 添加前置滤波器
numf=[0.5]; denf=[1 1.5 0.5];
[num, den]=series(numr,denr,numf,denf);
sys=tf(num, den) ;
step(sys,t); grid
% 系统扰动时间响应
K=280;
numh=[K 1.5*K 0.5*K]; denh=[0 0 1 0];
numg=[1]; deng=[100 215 30.5 1];
[numn,denn]=feedback(numg,deng,numh,denh);
sysn=tf(numn, denn)
figure
step(sysn,t); grid
4-25 在未来的智能汽车-高速公路系统中，汇集了各种电子设备，可以提供事故、堵塞、路径规划、路边服务和交通控制等实时信息。图4-49(a)所示为自动化高速公路系统，图4-49(b)给出的是保持车辆间距的位置控制系统。要求选择放大器增益和速度反馈系数的取值，使系统响应单位斜坡输入的稳态误差小于0.5，单位阶跃响应的超调量小于，调节时间小于。

(b) 车辆间距控制系统
图4-49 智能汽车-高速公路系统
解 本题应用等效根轨迹技术及MATLAB设计软件包，确定多个系统参数的取值。设计过程中，需要综合运用劳思稳定判据、稳态误差计算法、主导极点法以及动态性能估算法等知识。
(1) 稳定性要求
由图4-49 (b)知，速度反馈内回路传递函数

开环传递函数

式中，速度误差系数

闭环传递函数

首先，和的选取应保证闭环系统具有稳定性。列劳思表如下：
1
10

由劳思稳定判据知：使闭环系统稳定的充分必要条件是
，
也即
，
(2) 稳态误差要求
根据系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求

导出

由于要求，故应有，因此要求

从系统稳态性能（稳定性与稳态误差）考虑，和的选取应满足

由于，故应有。于是，和选取时应满足的条件可进一步表示为

显然，取，是一组允许值。的最终确定，可根据对系统动态性能要求去选取。
(3) 动态性能要求
对于二阶系统，若取阻尼比，则

因为要求

故应保证。
在平面上，作了和扇形区，令，从，作系统根轨迹。在根轨迹图上，的最终确定应使闭环极点位于扇形区域内。闭环特征方程

等效根轨迹方程

式中，。根轨迹参数：
渐近线：

分离点：由

解出
。

图(a) 概略根轨迹图

系统等效根轨迹如图(a)所示。图中，复数根轨迹分支与阻尼比线的交点为

点处的根轨迹增益，相应的

根据模值条件，可以确定第三个闭环极点。此时系统的近似性能

满足全部设计指标要求。
基于MATLAB软件包，图(b)给出时的根轨迹增益，用以确定值；车辆间距控制系统根轨迹图，如图c)所示，图中三角形表示时系统的闭环极点。
(4) 设计指标验证
由于实际系统为无有限零点的三阶系统，负实极点会增大系统阻尼，减小超调量。这里仅验证设计指标中的动态性能。作MATLAB仿真，可得实际系统的单位阶跃输入响应，如图(d)所示。
由图(d)可得系统的动态性能
；
即
；
结果满足设计指标要求。
MATLAB程序：exe425.m
% 建立等效开环传递函数模型
G=zpk([-4], [0 -3 -7], 1); z=0.6;
% 绘制相应系统的根轨迹
figure (1)
rlocus(G); sgrid(z,'new') % 取阻尼比为 0.6
axis([-5.5 0.5 -6 6])
figure (2)
K=21.5; rlocus(G); % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益
hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比为 0.6时, 系统的闭环特征根
% 控制系统的阶跃响应
Ka=86; Kt=0.25;
numc=[Ka]; denc=[1 10 21+Ka*Kt 0]; % 系统开环传递函数
[num, den]=cloop(numc, denc); % 系统闭环传递函数
roots(den); % 系统闭环极点
sys=tf(num, den); t=0:0.005:5;
figure(3)
step(sys,t); grid on;

图(b) 确定处的 (MATLAB)

图(c) 控制系统根轨迹图 (MATLAB) 图(d) 控制系统的单位阶跃响应 (MATLAB)

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