福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题.doc

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福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一

本复习题页码标注所用教材为：
高等代数
19.50
主
张禾瑞、郝丙新
2007年第5版
高等教育出版社
书
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．设是阶方阵，是一正整数，则必有（　 　）
； ；
； 　。
考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181；
行列式的性质，参见P113；
矩阵乘积的行列式，参见P197；
2.设是一个阶行列式，那么（ ）
(A) 行列式与它的转置行列式相等； (B) 中两行互换，则行列式不变符号；
(C) 若，则中必有一行全是零； (D) 若，则中必有两行成比例。
考核知识点：行列式的性质，参见P111-113；
3．设矩阵的秩为>，那么（ ）
(A) 中每个<阶子式都为零； (B)中每个阶子式都不为零；
(C) 中可能存在不为零的阶子式； (D)中肯定有不为零的阶子式。
考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152；
4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ）
(A) ；
(B)；
(C) ；
(D)若。
考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46；
5．设是线性空间的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ）
(A)任一组不全为零的数，都有；
(B)任一组数，有；
(C)当时，有；
(D)任一组不全为零的数，都有。
考核知识点：向量的线性无关的定义，参见P220；

二、填空题（共20分，每空4分）
1. 行列式的展开式中 的系数是__ _。
考核知识点：行列式依行依列展开（代数余子式），参见P121；
2. 已知向量组线性相关，则 _。
考核知识点：向量的线性相关的定义，参见P220
3. 设为维非零行向量，则齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数是 。
考核知识点：齐次线性方程组的解空间的维数，参见P252；1
4. 矩阵与中，能够对角化的是 。
考核知识点：矩阵可以对角化的条件，P292-293；
5. 二次型的矩阵为 。
考核知识点：二次型的矩阵为实对称矩阵，参见P346-347；
三．（10分）计算阶行列式：
考核知识点：依据行列式的性质计算行列式，参见P111-118；
四．（10分）
设向量组 。判断此向量组是线性相关还是线性无关？并求向量组的秩及一个极大无关组。
考核知识点：判断向量组相关性的方法，参见P220-222；
利用初等变换求矩阵的秩及极大无关组，参见P248-249；

五．（10分）
如果，求证： .
考核知识点：多项式的整除性，参见P31-37；
六．（15分）
当为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解？在有无穷解时，求其通解。
考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156；

七．（15分）
求矩阵的特征值和特征向量。
考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题二

本复习题页码标注所用教材为：
高等代数
19.50
主
张禾瑞、郝丙新
2007年第5版
高等教育出版社
书
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1. 若都是维线性空间的子空间，那么（ ）
(A)维+维=维+维； (B)维=维+维；
(C)维+维=维+维；
(D)维-维 =维-维。
考核知识点：有限维子空间维数的关系，参见P233；
2． 设矩阵，其中均为4维列向量，且，则（ ）。
(A) 5； 　　 (B) 20； 　　 (C) 30； 　　(D) 40。
考核知识点：行列式的性质，参见P113-114；
3. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）
(A)合同的； (B)相似的； (C)相等的； (D)正交的。
考核知识点：线性变换与对应矩阵的关系，参见P272；
4、设是维欧氏空间 ，那么中的元素具有如下性质（ ）
(A)若； (B)若；
(C)若； (D)若>。
考核知识点：向量内积和长度的性质，参见P299-302；
5、欧氏空间中的标准正交基是（ ）
(A) ； (B)；
(C) ； (D)
考核知识点：标准正交基的定义，参见P308；
二、填空题（共20分，每空4分）
1．计算行列式 ； 。
考核知识点：利用行列式性质计算行列式，参见P111-116；
行列式依行依列展开，参见P124；
2．当k= 时，向量正交。
考核知识点：向量正交的定义，参见P305；
3．设矩阵A=，则秩A= 。
考核知识点：利用初等变换求矩阵的秩，参见P248；
4. 设三阶方阵A的特征值为1，2，3，则 。
考核知识点：矩阵的特征值与行列式的关系，参见P283；

三．（10分）
设，求矩阵
考核知识点：矩阵的逆矩阵的求法，参见P193-194；
四．（10分）
设线性方程组
（1）为何值时，方程组有唯一解、无解；
（2）为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。
考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156；

五．（10分）
证明：有理数域上含有实数根的不可约多项式必是2次多项式。
考核知识点：有理数域上的不可约多项式，参见P71-74；

六．（15分）
设二次型
(1)写出这个二次型的矩阵A；
(2)求A的特征值及其线性无关的特征向量；
(3)求一个正交线性替换X=TY，将化为标准形；
考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354；
矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；

七．（15分）
设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得的充分必要条件是A，B有相
同的特征值。
考核知识点：相似矩阵具有相同的特征值，参见P281；
实对称矩阵的对角化和正交矩阵的定义，参见P337和P319；

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题三

本复习题页码标注所用教材为：
高等代数
19.50
主
张禾瑞、郝丙新
2007年第5版
高等教育出版社
书
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1. 若矩阵，满足，则（ ）。
(A)或； (B)且；
(C)且； (D)以上结论都不正确。
考核知识点：矩阵的乘法运算，参见P181；
2. 在欧几里得空间V中，为一正交向量组，则一定是（ ）
(A)线性无关； (B)线性相关；
(C)正交单位向量组 ； (D)无法判断。
考核知识点：正交向量组的性质，参见P309；
3. 若矩阵的特征根为0，2，则的特征根为（ ）
(A)0，2 ； (B)0，4；
(C)1，3 ； (D)0，3。
考核知识点：矩阵特征根的求法，参见P282；
4.在一个矩阵上添加两行或两列后，所得到的矩阵的秩（ ）
(A)不变； (B)增加1；
(C)增加2 ； (D)以上都不是。
考核知识点：矩阵秩的相关知识，参见P152；
5．设A与B是n阶矩阵,A与B相似。以下论断错误的是( )
(A)存在可逆矩阵P,使得 ； (B)；
(C)A与B有相同的特征根 ； (D) A与B有相同的特征多项式。
考核知识点：相似矩阵的关系，参见P281-283；
二、填空题（共20分，每空4分）
1．设，则 ； 。
考核知识点：代数余子式的定义，参见P121；
2.阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。
考核知识点：二次型的类型，参见P362；
3.若线性变换关于基的矩阵为，那么关于基的矩阵为 。
考核知识点：线性变换和矩阵的对应关系，参见P266；
4.四阶行列式的值为 。
考核知识点：行列式的定义，参见P108；
三．（10分）
设为阶方阵，且满足，
(1)证明：均可逆；
(2)当时，求矩阵。
考核知识点：可逆矩阵的定义，参见P187；
矩阵的运算，参见P183；
矩阵的逆矩阵的求法，参见P192-193；
四．（10分）
当k取何值时，线性方程组

有非零解？并求出它的一般解。
考核知识点：线性方程组有解的判定，参见P155-156；

五．（10分）
求矩阵的特征值与特征向量。
考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；

六．（15分）
将二次型用非退化线性替换化为标准型
考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354；

七．（15分）
设矩阵A 与B 相似, 其中
，
(1) 求x 和y ；
(2) 求可逆矩阵P, 使得P- 1 AP = B。
考核知识点：相似矩阵具有相同的特征多项式，参见P281；
矩阵对角化的方法，参见P293；

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