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迎初赛苦练本领系列训练天天练007答案
（2013年元月7日）
姓名得分
一、填空题（）
037．若，则函数的最小正周期是
解：因为的周期为，的周期为，最小公倍数为，故的周期为．
038．数列满足：，，且，记的前项和为，
则
解：验算可知：，，，，，，，，，
，，┅；该数列是周期数列，周期为9，即有；
则．
039．在小于20的正整数中，每次不重复地取出三个数，使它们的和能被3整除，则不同的取法种
数为
解：把这19个数按被3除所得的余数分为三类：
类：3，6，9，12，15，18；
类：2，5，8，11，14，17；
类：1，4，7，10，13，16，19．

这样满足题设条件的取法有且只有四种情形：
第一种情形，在类中任取三个数，有种取法；
第二种情形，在类中任取三个数，有种取法；
第三种情形，在类中任取三个数，有种取法；
第四种情形，在、、类中各任取一个数，有种取法；（妙点之处）
因此一共有：种不同的取法．
（一道高考压轴题的一部分，当年坑了多少有志而不爱竞赛数学的青年啊！！！）
040．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是
解：记，变式为：对一切恒成立．
分三类讨论，找三类同时满足的的取值范围，即为所求范围；
（1）当时，对一切实数，，满足题意；
（2）当时，；
设，下求在时的最大值；
因为，所以在时，，函数是增函数；
所以，故；
（3）当时，；
设，下求在时的最小值；
因为，
所以在时，，函数是减函数；
在时，，函数是增函数；
所以，故；
综上所述：的取值范围是．
（本题是经典常规题型，必须谙熟之）
二、解答题（）
041．设，求使为完全平方数的整数的值．
解：因为；（从极端考虑：配方法）
所以，当时，是完全平方数；
下证没有其它的整数满足要求：（此乃“正难则反”之思想）
（1）当时，有；
又有；
则，因此有，故不是完全平方数；
（2）当时，有；
令；（此处若再用（1）法可以解出来，则不是竞赛题，“蹊跷”诶）
则有：即；（整数的离散性质，此法亦是常用技巧）

再平方：，即；
按和，脱绝对值号分类解此不等式得：
此不等式的解集为：{，，0，，，，}；
验证可得：上述的取值均不能使为完全平方数；
综合上述：只有当时是完全平方数．
042．已知函数，试求在区间上的最大值．
解：当时，；
设：；（下面讨论对称轴与已知区间的关系）
（1）当时，则在区间上为增函数，且，（绝对值！）
此时，；
（2）当时，则在区间上为减函数，且，（绝对值！）
此时，；
（3）当时，则在区间上为减函数，在区间上为增函数，
由，，；可知；
作平方差比较大小：
；
又因为，（为了避免这里有相等的情形，故前面的（1）（2）讨论时取等于）
当时，，即，所以；
当时，，即，所以；
综合上述：．

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