《线性代数》(魏_ 黄)习题解.doc

LSF,
5/9/2007

线性代数
魏福义, 黄燕苹主编−北京: 中国农业出版社, 2003. 2 (ISBN 7­109-08058-7)
习题解
(缺习题六题解)
06学年第二学期复习题:
习题一: 4, 5, 6, 7(4), 10, 11, 13, 14, 15(1), 16(3)(4), 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
习题二: 1(3), 2(2), 3(3), 4, 5(3), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
习题三: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
习题四: 1(2)(3), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10(1)(2), 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
习题五: 1(2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
习题七:自己挑选一些题, 写出matlab语句. 7.15必做.

这是题文
这是题解
这是注释

习题一
1.1 设 ,
求及.

1.2 计算下列乘积
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(1)(2)(3) (4)
(5)
1.3 设, 问下列各式是否成立?
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
1.4讨论下列命题是否正确:
(1)若, 则;
(2)若, 则或;
(3)若且, 则.
(1)不对. 反例:,但.
(2)不对. 反例: 设, 则且, 但.
(3)不对. 反例: 设,,, 则有且, 但..
1.5计算:
(1), (2), (3)
(1)

(2)

(3)

1.6设方阵满足矩阵方程, 证明及都可逆, 并求及.
由得, 故可逆, 且.
由也可得或, 故可逆, 且.
1.7(4)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(1)

(2)

(3)

(4)

可知
.
(5)

(6)

1.10设, 求.
解.

求得,于是.

1.11设, 其中,求.

1.12 设, (1) 证明; (2) 设，证明
(1)

(2)

1.13 计算下列行列式
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1.14 证明下列等式
(1) =(a－b)3
(2) = (1－x2)
(3) = [x+(n－1)a](x－a) n-1
(1)
(2)
证法二

(3)=
1.15 用克拉默法则解下列方程组:
(1) (2)
(1) 计算得

因为系数行列式, 所以方程组有唯一解
.
(2) 计算得

因为系数行列式, 所以方程组有唯一解
.
1.16 求下列方阵的逆阵
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(1)套用公式, 得.
(2)套用上述公式, 得.
(3)

得 .
(4)

得 .
1.17．解下列矩阵方程
(1) (2)
(3)
(1)
(2)
(3)
1.18 设是阶矩阵, 为其转置伴随矩阵, 证明:
(1)若, 则
(2) .
(1)设,则. 如果的第一行元素全为零, 则, 于是. 假设的第一行元素不全为零, 例如, 作如下行初等变换, 得
.
现, 因此.
(2)一般地, , 但. 于是. 从而, 若, 立刻得到. 而若, 由(1)知仍成立.
1.19 设,
利用分块矩阵的乘法, 计算.

1.20 若, 证明: .
.
1.21 (选择题) 设A, B为n阶方阵, 则成立.
(A) (B)
(C) (D)
(A)的反例: , 除非.
(B)的反例: 若, 则.
(D)的反例 .
(C)是成立的, 因为.
1.22设阶方阵的转置伴随矩阵为且, 求.

或
1.23 设为阶方阵,, 求证可逆, 并写出逆矩阵的表达式.

\可逆, 且.
1.24设分块阵,其中可逆,求.
解.验算.OK
1.25 设A为m阶方阵, B为n阶方阵, detA = a, detB = b, C =, 求detC.
利用拉普拉斯定理:
(定理1.8)在n阶行列式中任取k行(列), 则由这k行(列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和, 等于行列式的值.
在中取所在的行, 所得的阶子式只有一个不等于零, 就是. 而的余子式是, 代数余子式是, 其中注意到是偶数. 于是.

1.26设,求.
注:矩阵或不要用行列式符号:
利用第24题的结论

1.27 计算下列n阶行列式
(1) (2)
(3)
(1)同第14(3)题.
(2)
(2)按第一列展开

(3)
1.28设均为阶方阵且,求.

注:.
1.29设为阶非奇异(可逆)矩阵,其转置伴随阵为(或),求

或

习题二
2.1 讨论下列向量组的线性相关性
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
可见, 故向量组线性相关.
(2)
可见, 故向量组线性无关.
(3)
可见, 故向量组线性相关.
(4)
可见, 故向量组线性相关.
解法二 现有个维, , 所以给出的向量组线性相关.
P53推论2.１ 任意个维向量线性相关.
2.2 求下列矩阵的秩
(1) (2) (3)
(1)
可见秩.
(2)
可见秩.
或
(3)
2.3 求解下列齐次线性方程组
(1) ; (2) (3)
(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换

得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为
,
方程组的解为
.
(2) 对方程组的系数矩阵作行初等变换

, 方程组有唯一零解.
(3) 对方程组的系数矩阵作行初等变换

得
2.4 求一个齐次线性方程组使他的基础解系为

由题意, 齐次线性方程组的通解为
,
或
.
从中消去, 得

即为所求.
解法二: 设所求的齐次线性方程组为

将分别代入方程组, 得
,

解方程组(1), 得其中一个解. 解方程组(2), 得其中一个解. 从而得一个满足要求的方程组
2.5 求下列非齐次线性方程组的通解
(1) (2) (3)
(1) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形

立刻得到方程组的解
(2) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形
,
立刻得到方程组的解
(3) 对方程组的增广矩阵作行初等变换

因为, 所以方程组无解.
2.6若向量组线性无关,线性相关.试证可由线性表示.
线性无关Þ线性无关.
线性相关Þ可由线性表示.
从而可由线性表示.
证法二: 线性相关Þ线性相关.
线性无关Þ可由线性表示.
注意: “Q线性无关, \存在全为0的,使得.”这个说法是有问题的, 因为不管是否相关,这些总是存在的!
2.7设线性方程组
当等于何值时, (1)方程组有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解. 并求此时方程组的通解.
.
(1)时方程组有唯一解.
(2) 时, . 无解
(2) 时, , 有无穷多解.

2.8 设
(1)当为何值时, 向量组线性相关.
(2)当为何值时, 向量组线性无关.
(3)当线性相关时, 将表示为的线性组合.

(1)当时,线性相关;
(2)当时,线性无关.
(3)现. 设可表示为的线性组合:, 即
.
则有线性方程组
,
或
.
,
得. 于是
2.9设线性方程组
.
的解都是

的解.试证是

的线性组合.
方程组

与

是同解方程组, 它们的基础解系相同, 从而它们的系数矩阵的秩相同, 即向量组和向量组有相同的秩:
.
设是的一个极大无关组, 则是向量组中的个向量, 因而是线性相关的. 所以可由线性表示, 从而可由线性表示.
定理2.1　若向量组线性无关, 而向量组线性相关. 则向量可以由向量组线性表示.
2.10证明方程组

有解的充要条件是.

方程组有解ÛÛ.
2.11 填空题
(1) 设, 当时线性相关.
(2) 当时, 向量能由下列向量组线性表示.

(3) 已知向量组

的秩等于2, 则.
(4) 设矩阵, 当时, .
(5)设是非齐次线性方程组的解, 若也是的一个解, 则.
(6) 设是齐次线性方程组的一个基础解系, 则.
(1),
当时,,线性相关.
(2)设有使得, 即
,
则该方程组的增广矩阵

的秩. 于是.
(3) ,
当时,.
(4)
当时,
(5)

给出的是非齐次方程组, , 所以
(6)线性方程租的基础解系含个解向量(是系数矩阵的秩). 现, 于是, 这说明方程组有一个有效方程. 可以是一个行矩阵, 设为. 因为是方程组的解, 所以
.
解得即知.
注意: 本小题答案不是唯一的.
2.12 选择题
(1)设向量组线性无关, 则下列向量组线性相关的是 都不可选 .
(A)　　　(B)
(C)　　　(D)
(2)在齐次线性方程组中, 若, 则下列结论正确的是.
(A)当时,的个行向量线性相关.
(B)当时,的个行向量线性无关.
(C)当时,的个行向量线性无关.
(D)当时,的个行向量线性相关.
(3)设向量组线性无关, 向量组线性相关, 则下列结论错误的是.
(A) 线性无关.　　　(B)可以表示为线性组合.
(C) 线性相关.(D) 线性无关.
(4)若非齐次线性方程组有解, 是的个列向量, 下列结论正确的是.
(Ａ) 线性相关.　　(Ｂ) 线性无关.
(Ｃ) 线性相关.　　　(Ｄ) 线性无关.
(５)已知是非齐次线性方程组的两个不同的解, 是对应的齐次线性方程组的基础解系, 为任意常数, 则方程组的通解是.
(A) (B)
(C) (D)
(6)设为阶方阵, 且是的两个不同的解向量, 则的通解为.
　　 (A) 　 (Ｂ) 　　(C) 　 (Ｄ)
(1)没有一个可选.
(A)不是线性相关的, 因为

(B)不是线性相关的, 因为

(C)不是线性相关的, 因为

(D)不是线性相关的, 因为

(2) 设, 有. 于是. 故选的个行向量先行相关.
(3)由线性无关可知线性无关. 故(A)不可选.
由线性相关且线性无关可知可由线性表示(定理2.1若向量组线性无关, 而向量组线性相关. 则向量可以由向量组线性表示.) 故(B)不可选.
由线性相关可知线性相关. 故(C)不可选.
上面确认了是线性相关 故选(D).
(4) 注意到, 可知(A)成立
(5) 由是齐次方程组的基础解系知的基础解系一定含有两个线性无关的解向量(这两个向量一定是非零向量).
向量组是线性无关的, 可作成一基础解系. 但不是非齐次方程组的特解, 因为. 故不可选(A)
线性无关故可作成一基础解系. 且是非齐次方程组的一个特解, 因为. 故选.
不是齐次方程组的解, 因为. 故不可选(C).
不能保证与, 故不选(D).
(6) 基础解系含有个线性无关的解向量, 而任何一个单独的非零向量是线性无关的.
不能保证是非零向量, 故不选(A). 同理, 不选(B). 有可能是反方向的, 此时或. 故不选D). 由是不同的解向量知, 因此可作成一基础解系. 故选

习题三
3.1设, 求.
,
,
,

3.2设有三点,求.

3.3设与的夹角是, 模分别为和, 求与的距离.
利用p74例3.7的结果, 与的距离为

3.4作为平面几何定理(平行四边形的对角线与边长的关系)的推广, 证明
.

3.5设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.
正交化:

单位化:

3.6已知正交,试求一个非零向量,使两两正交.
解 设. 因为与都正交: 所以
.
由, 得. 不妨取.
3.7设都是阶正交矩阵, 证明也是正交矩阵.

3.8设, 欲使向量与正交, 求.
解

3.9 设是正交向量组, 试证
.
先证的情形:
,
假设对于个向量, 公式成立, 那么注意到与正交, 有
.
公式得证.
3.10设是正交向量组, 且, 求; 记, 求.
利用3.9题的结论, 得

而
.
3.11如果与都正交, 证明与的任意线性组合也正交.

3.12设是一组维线性无关向量,是一个维向量, 且, 证明.
因为线性无关, 而线性相关(个维向量必然线性相关), 所以可由线性表示:
.
但与都正交, 于是利用上题结论与的任意线性组合也正交, 因此与自己正交. 与自己正交的向量只有零向量.
3.13填空题:
(1)设向量与正交, 则.
(2)向量与的距离和内积分别为和.
(3)向量与的夹角为.
(4)向量组经施密特方法正交规范化为.
(5)若矩阵是正交矩阵, 则的值分别为.
(1)
(2) 向量与内积为
;
距离为
.
(3)向量与的夹角为
.

(4)向量组经施密特方法正交规范化为

得到的已经是单位向量, 为所求的正交规范组.
(5)的行向量组是标准正交向量组, 满足
.
解得
3.14选择题
(1)设,则与的距离为.
(A)81 (B)9 (C)7 (D)8
(2)设维向量和的模分别是6和9, 与的距离是12, 则与的夹角的余弦为.
(A) (B) (C) (D).
书上p74例3.7的公式:
,
(3)设是阶方阵, 则下列4个式子中表明是正交矩阵的式子为.
(A) (B) (C) (D).
(4)设, 若与是同方向的向量, 且,.
(A) (B) (C) (D).
等于方向上的单位向量的倍:.
(5)设和是维向量, 则等式成立的充分必要条件是.
(A) (B) (C) (D).
3.15设和都是维向量, 其中, 试问为何值时, 距离取最小值?
令, 则
.
当时,取得最小值, 而距离取最小值
3.16若是奇数阶正交矩阵, , 试证.

现n是奇数, , 故,于是.
3.17设,
(1)验证线性变换是正交变换.
(2),求; 设, 求.
(1)因为下列各式成立

即A的行向量组是标准正交向量组, 所以A是正交矩阵.
或者验证

或者验证
.
因为A是正交矩阵, 所以按定义y = Ax是正交变换.
(2),求; 设, 求.
若, 则
若, 则
注意:
l 矩阵与行列式不要混淆.矩阵是数表,行列式是数. 矩阵用圆括号或方括号,行列式用竖括号.
l 矩阵与向量组的联系与区别
n
矩阵的秩向量组的秩
n 矩阵是正交的, 即或
Û A的列向量组是标准正交向量组, 即

Û A的行向量组是标准正交向量组, 即

习题四
4.1求下列矩阵的特征值和特征向量
(1) (2)
(3) (4) (5)
(1)解特征方程
,
得特征值.
对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵
,
可见特征向量为.
对于特征值, ,可见特征向量为.
(2)解特征方程

得特征值.
对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵
,
可见特征向量为(不全为0).
(3)解特征方程

得特征值.
对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵
,

可见特征向量为.
对于特征值, .
可见特征向量为(不全为0).
(4)
特征值.
对于, , 特征向量.
对于, . 特征向量(不全为0).
(5)
特征值.
对于, , 特征向量.
对于, . 特征向量.
对于, . 特征向量.
4.2已知矩阵的特征值为, 求的值, 并求其特征向量.

对,

(k1, k2不全为0).
注:基础解系不是唯一的.
对,

4.3已知, 其中, 试求的特征值及.

得的特征值.
的特征值:
故.
4.4已知阶矩阵的特征值为, 试求.
设是的特征值, 则是的特征值.
的特征值有. 于是

4.5试证:若, 则的特征值只能是1或2.
设是的特征值, 则是的特征值. 现, 而零矩阵的特征值都是0. 于是的特征值必须满足, 即或.
4.6设, 试证的特征值只能是或.
的特征值满足. 于是.
4.7设分别是对应于的特征向量, , 试证不可能是的特征向量.
用反证法. 假如不可能是的特征向量, 则有使得

但分别是对应于的特征向量, 有

从而

定理4.2推论1: 若n阶方阵A有互不相同的特征值.则其对应的特征向量线性无关.,
于是有或. 但是对应于不同特征值的特征向量, 因而是线性无关的, 故或; 这是不可能的, 因为.
所以不可能是的特征向量.
4.8判断下列矩阵是否相似
(1) ;
(2)
(1)显然的特征值是.
由知的特征向量为.只有一个线性无关的特征向量,因此不可能与对角阵相似.
P89定理4.6 阶矩阵与阶对角阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.
(2) 显然有3个相异的特征值, 因此与相似.
P90定理4.6推论4.2 若阶矩阵有个相异的特征值, 则与对角阵相似.
4.9设,
若矩阵和相似, 试求: (1)和的值. (2)可逆矩阵, 使.
P88性质4.2 若阶方阵与相似, 则(1), (2).
相似矩阵和有相同的行列式和迹:

都得到. 相似矩阵和有相同的特征多项式
.
比较得或. 而.
矩阵的特征值为.
对于,, 得特征向量.
对于,, 得特征向量.
对于,, 得特征向量.
令, 则有.
4.10将下列矩阵对角化, 并求, 使(为对角阵)
(1) (2)
(3) (4)
(1)解特征方程

得特征值.
对于,, 得特征向量. 选.
对于,, 得特征向量 (k2, k3不全为0). 选..
令, 则有.
(2)解特征方程

得特征值.
对于,, 得特征向量. 选.
对于,, 得特征向量. 选.
对于,, 得特征向量. 选.
令, 则有.

4.11 试求一个正交矩阵, 使
(1) (2)
(1)解特征方程

得特征值.
对于,, 得特征向量(k1, k2不全为0). 选.
将正交化:

对于,, 得特征向量. 选.
将单位化:

令, 则是正交的, 且.

4.12 设, 求.
, 得特征值.
对于,, 选.
对于,, 选.
令, 则有. 于是, 而

4.13 填空题
(1) 设三阶方阵的三个特征值为, 则的伴随矩阵对应的行列式为 .

的特征值为
(2)设0是矩阵的特征值 , 则.

(3)设为三阶方阵, 为三个特征值, 对应特征向量为, 令, 则.

(4)设,有相同的特征值 , 则, .

解得
(5)已知四阶方阵相似于,的特征值为,为四阶单位矩阵, 则.
与相似, 因此有相同的特征值, 从而为. 于是
(6)设三阶实对称方阵的特征值为, 则. .
定理4.10 若是实对称矩阵的重特征值, 则存在个属于的线性无关的特征向量.
是1重特征值, 有1个属于的线性无关的特征向量, 即齐次方程组的基础解系含1个解向量. 于是. 现, 故. 类似地, 是2重特征值, 方程组的基础解系含2个解向量. 于是, 而.
4.14 选择题
(1)设是的对应于的两个不同特征向量, 则如下为的特征向量的有.
(A) (B) (C) (D)
.
由于是不同的, 不是零向量, 故是的特征向量, 且是属于特征值的.故选.
事实上, 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于该特征值的特征向量. (A), (B), (C)中的向量有可能是零向量, 故不选(A), (B), (C).
(2)已知三阶矩阵的特征值为, 则矩阵(其中为的伴随阵)的特征值为 .
(A) (B) ( C) (D )
注意到
.
.
设是的特征值, 则是的特征值. 可知, 的特征值有或.
(3)已知为三阶方阵的三个不同的特征值, 对应的特征向量依次为,令, 则等于.
(A) (B)
(C) (D) 不能确定.
,
其中

P90定理4.6推论4.2 若阶矩阵有个相异的特征值, 则与对角阵相似.
解法二 或者更简单地, 由的相异性知可对角化. 特征向量分别属于, 而向量同样是分别属于的特征向量, 因此所得矩阵可作为相似对角变换的矩阵, 即.
(4)如果下列哪一个成立, 则与相似.
(A) (B)
(C)与有相同的特征值.
(D)与有相同的特征值且个特征值各不相同.
选(D). 这时候和都与同一个对角阵相似, 其中是和的共同特征值.
(5) 已知三阶方阵满足, 则.
(A)与对角阵相似 (B)可逆
(C)不可逆 (D)或
的特征值满足, 因此只可能是或.(?)
4.15 证明任何一个矩阵能唯一写成一个对称阵与一个反对称阵之和.
任给矩阵, 有
,
其中,是对称矩阵:
,
而是反对称矩阵:
.
故能唯一写成一个对称阵与一个反对称阵之和.
又假设可写成
,
其中是对称的, 而是反对称的. 则

于是
,
或
.
可见写成一个对称阵与一个反对称阵之和的形式是唯一的..
4.16 设是幂等阵, 证明.
由性质4.4(2)知幂等矩阵相似于形如的对角阵, 因此
,
但

故.
4.17 设三阶实对称阵的特征值为, 对应于的特征向量为, 求对应于的特征向量及.
设为对应于的特征向量, 则与正交, 满足

解得(不全为零).
可选. 注意到是两两正交的, 将之单位化后构成矩阵
,
则是正交的, 且
.
于是

4.18 设, 当为何值时, 相似于对角阵.

习题五
5.1 求下列二次型的矩阵和秩.
(1)
(2)
(1)

(2)

5.2 求下列二次型的值
(1)设二次型的矩阵为, 求
(2) 设,, 二次型的矩阵为,求.
(1)

(2)

5.3 用正交变换化下列二次型为标准形
(1)
(2)
(1) 二次型的矩阵为. 现要对实对称矩阵加以正交对角化, 即: 找出一个正交矩阵, 使得, 其中是对角阵(注意正交矩阵满足). 为此, 先求的特征值.
解的特征方程
,
得的特征值,.
对于特征值, 解齐次方程组. 方程组的系数矩阵

得特征向量. 取.
对于特征值, 相应的齐次方程组的系数矩阵

得特征向量. 取.
是正交的, 将之单位化后构造正交矩阵
.
作正交变换, 即
.
则二次型

化为标准形
.
(2)二次型的矩阵为. 解特征方程
,
得的特征值,,.
对于特征值, , 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
是正交的. 令
,
则是正交的. 作正交变换, 则给出的二次型化为标准形
.
5.4 设, 试用正交变换化二次型为标准形.
解特征方程
,
得特征值,.
对于特征值,
.
取特征向量.
对于特征值,
.
取特征向量.
不是正交的, 将之正交化:
.
将单位化, 令
.
则是正交的. 作正交变换, 则二次型化为标准形
.
注: 上面对于特征值, 可取特征向量. 这样是正交的. 可令
.
这样, 得到不同的变换矩阵, 但标准形仍然同上, 因为构造所用的特征向量仍然依次对应着特征值,.
5.5 用可逆线性变换将如下二次型化为标准形, 并求出正惯性指标:
(1)
(2)
(1) 二次型的矩阵为
.
解特征方程
,
得特征值,.
对于特征值,
.
取特征向量.
不是正交的, 将之正交化:
.

对于特征值,
.
取特征向量.
令
.
则是正交的. 作正交变换, 则二次型化为标准形
.
正惯性指标是1.
解法二 本题的变换矩阵不要求是正交的, 可用配方法.
取
,
则

其中

而

可见作可逆线性变换
,
则给出的二次型就化为标准形
.
(2) 二次型的矩阵.
特征方程
,
的根不容易求. 下面的结果是用matlab得到的.
特征值.
正交变换矩阵
.
则作正交变换, 二次型就化为标准形
.
正惯性指标.
解法二 下面用配方法计算

其中
或.
可见作是可逆线性变换

则二次型化成标准形. 正惯性指标.
5.6证明: 二次型在时的最大值为实对称矩阵的最大特征值.
有正交变换, 使二次型化成标准形, 其中是的特征值(按由小到大的次序排列).
正交变换不改变向量的模, 故. 于是在时,
.
取, 当时, , 这是的最大值.
5.7判别下列二次型的正定性:
(1)
(2)
(1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是负定的.
(2) 二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是正定的.
5.8取何值时, 下列二次型是正定的:
(1)
(2)
(1)二次型是正定的, 当且仅当它的矩阵的各阶主子式都是正的:
,
即
.
解得.
(2)二次型是正定的, 当且仅当它的矩阵的各阶主子式都是正的:
,
即
, 或
当时, . 这说明无论取何值,皆非正定.
5.9设为正定矩阵, 试证,也均为正定矩阵.
当是对称矩阵时, ,也都是对称矩阵:

的所有特征值都大于零. 从而.
的所有特征值也都大于零, 所以是正定的.
的所有特征值也都大于零, 所以是正定的.
5.10设,都是阶正定矩阵, 证明也是正定矩阵.
,都是正定矩阵, 所以二次型都是正定的, 即

于是

这说明也是正定矩阵.
5.11设是阶实对称矩阵, 证明存在实数, 对一切, 有.
存在正交变换, 使二次型
.
设是的绝对值最大的特征值, 则

由于是正交变换, 所以. 于是,. 取即得证.
5.12验证二次型是正定二次型; 用正交变换把椭球面方程标准化, 并求出它的三个轴长.
二次型的矩阵的各阶主子式都是正的:
.
故二次型是正定的.
的特征值可通过解特征方程得到, 相应的特征向量通过求解齐次方程组分别可取为.
构成标准正交向量组, 由它们构成正交矩阵
.
作正交变换, 则有. 于是在新的坐标系下椭球面的方程为, 或标准化为. 椭球面的三个半轴的长度依次为.
5.13 填空题:
(1)二次型的矩阵是, 该二次型的秩为.
(2)矩阵对应的二次型是.
(3)已知二次型的秩为, 则参数.

(4)设是实对称可逆矩阵, 则将化为的线性变换为.
解法一, 令, 即作线性变换, 则化为.
解法二. 作线性变换, 则
(5)设阶实对称矩阵的特征值分别为, 则当时, 为正定矩阵.
当时, 的特征值都大于零.
5.14 选择题:
(1)设, 均为阶方阵, , 且, 当时,
(A)秩()=秩() (B)
(C) (D) 且
当且时, ,是同一个二次型的矩阵, 而二次型的矩阵是唯一的, 故.
(2)下列矩阵为正定的是
(A) (B) (C) (D)
(A)的矩阵不是正定的, 因其二阶主子式.
(B)的矩阵不是正定的, 因其二阶主子式.
(C)的矩阵不是正定的, 因其三阶主子式.
(D) 的矩阵不是正定的, 因其各阶主子式都大于零:
.

(3)设,是阶正定矩阵, 则为正定矩阵.
(A) (B) (C) (D)
设和分别是,和的二次型, 则

现,是正定矩阵, 所以. 又, 有, 从而. 于是. 故是正定的.
(４)实二次型为正定的充分必要条件是.
(A)　　(Ｂ)存在阶可逆矩阵, 使
(Ｃ)负惯性指标为零　　　(D)对某一, 有
(A)只是必要条件.
矩阵的正惯性指标与负惯性指标之和等于的秩:. 而时, 但这不保证正惯性指标为. 故不选(C).
(D)中“对某一”要改为“对任一”才符合正定二次型的定义. 故不选(D).
根据定理5.6选(B).
定理5.6 若是阶实对称矩阵，则下列命题等价: (1)是正定二次型(或是正定矩阵); (2)的正惯性指标为; (3)存在可逆阵, 使得; (4)的个特征值全大于零.

(５)设,都是阶实对称矩阵, 且都正定, 那么是.
(Ａ)实对称矩阵 (Ｂ)正定矩阵
(Ｃ)可逆矩阵　　　　(Ｄ)正交矩阵
,都是实对称矩阵, 因此, 但这不保证, 即不保证是对称的. 故不选(A).
不一定是对称的, 因此不一定是正定的.(按定义, 正定矩阵都是对称矩阵). 故不选(B).
(D)显然不可选.
,都是正定矩阵, 因此都是可逆矩阵, 它们的乘积也是可逆矩阵. 选(C).
5.15已知二次型, 通过正交变换化成标准形, 求参数及所用正交变换矩阵.
给出的二次型的矩阵是.
因为二次型经正交变换后所得标准形的系数是二次型的矩阵的特征值, 所以的特征值. 由, 或可确定.
下面先对进行讨论.
对于, . 得特征向量.
对于, . 得特征向量.
对于, . 得特征向量.
这三组相互正交的特征向量的单位向量分别是,,. 以之构成矩阵, 则是所求的正交变换矩阵. 不是唯一的, 可取
.
对, 类似可算得三个两两正交的单位特征向量:,,. 可取

5.16 设是阶正定矩阵, 是阶单位矩阵, 证明: .
由的正定性知的特征值. 于是的特征值, 从而.
5.17 设为阶实对称矩阵, 且. 证明: 正定.
的特征值满足, 或. 但实对称矩阵的特征值都是实数, 故的特征值. 从而是正定的.

习题七
7.1已知,,
(1)在Matlab软件中输入
(2)求.
(1)A=[1,2,3;2,2,1;3,4,3],B=[1,1,1;0,1,1;0,0,1],n=3
(2)A+B =
2 3 4
2 3 2
3 4 4
inv(B)=
1 -1 0
0 1 -1
0 0 1
A^n =
92 120 102
66 86 72
138 180 152
A.*B =
1 2 3
0 2 1
0 0 3
7.2已知, 求

>> a=[1 2 3 4];b=[4 3 2 1];n=3;
>> a.*b =
4 6 6 4
>> a.^n =
1 8 27 64
>> sqrt(a) =
1.0000 1.4142 1.7321 2.0000
7.3设
求矩阵使其满足方程:.
>> A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];B=[2 1;5 3];C=[1 3;2 0;3 1];
>> X=A\C/B
-2.0000 1.0000
10.0000 -4.0000
-10.0000 4.0000
7.4 简述“,”在Matlab软件中的作用.
隔开矩阵的元素; 隔开函数的参数
7.5 在Matlab软件中建立5阶零矩阵, 单位矩阵. 全1矩阵, 随机矩阵.
>> zeros(5),eye(5),ones(5),rand(5,5)
7.6 计算行列式 (1) (2)
(1) >> A=[1 1 1 1;1 -1 1 1;1 1 -1 1;1 1 1 -1];det(A)
ans = -8
(2) >>A=[1 2 3 4;1 0 1 2;3 1 -1 0;1 2 0 -5];det(A)
ans = -24
7.7 求下列矩阵的秩, 迹和标准阶梯形.
(1) (2)
(1) >> A=[1 5 10 0;7 8 18 4;17 18 40 10;3 7 17 1];
>> rank(A)
ans = 3
>> trace(A)
ans = 50
>> rref(A)
ans = 1.0000 0 0 0.7692
0 1.0000 0 0
0 0 1.0000 -0.0769
0 0 0 0
(2) >> A=[1 0 0 1 4;0 1 0 2 5;0 0 1 3 6;1 2 3 14 32;4 5 6 32 77];
>> rank(A)
ans = 3
>> trace(A)
ans = 94
>> rref(A)
ans = 1 0 0 1 4
0 1 0 2 5
0 0 1 3 6
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7.8 已知方程组.求它的基础解系及通解.
>> A=[1 1 1 1;2 3 1 1;4 5 3 3];format rat;B=null(A,'r');syms k1 k2;
>> X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2); pretty(X)
[-2 k1 - 2 k2]
[