高等代数作业.doc

高 等 代 数 作 业 （2011 年 春 季 学 期 ）
要求：1. 作业必须写出全部求解过程。计算题必须写出全部
计算过程；证明题必须写出全部证明步骤。不能只写答案。
2．要独立完成作业，不要抄别人的作业，
不要抄《高等代数教程习题集》的答案。
3．不许抄袭或复制前几个学期的习题解答。
4. 键入数学公式，可用数学软件Mathtype .
作 业
第一章 行 列 式
1. 教材习题 1. 3 第 5（2） 题
2. 教材习题 1.4 （1） 第 4 题
3. 教材习题 1.6 第 1 （3），3 ， 5 题
4. 复 习 题 1 第 4， 6 题
第二章 线 性 方 程 组
1. 教材习题 2.1 第 1 （4）题
2. 教材习题 2.2（2） 第 1 (3) , 3 题
3. 教材习题 2.5 （2） 第 3 题
4. 教材习题 2.5 （3） 第 4 ，5 题
5. 教材习题 2.7（1） 第 2 题
6. 教材习题 2.7 （2） 第 1 （2） 题
7. 教材习题 2.7 （3） 第 1 （2），3 题
8. 复 习 题 2 第 10 题
第三章 矩 阵
1. 教材习题 3.1 （2） 第5 （4） 题
2. 教材习题 3.2 第 5 ，6 题
3. 教材习题 3.3 第 2 （5） 题
4. 教材习题 3.4 第 5 （3） 题
5. 教材习题 3.5 第 9 题
6. 复 习 题 3 第 10 , 11 ， 15 题
第四章 矩 阵 的 对 角 化
1. 教材习题 4.1 第 4 题
2. 教材习题 4.2 第 1 （4）题
3. 教材习题 4.3 第 2（1）（2） ，4 题
4. 教材习题 4.4 第 1 （ 3 ） 题
5. 复 习 题 4 第 4 ， 8 题
第五章 二 次 型
1. 教材习题 5.1 第 1 ，4 （1） （2） 题
2. 教材习题 5.2 第 2 题
3. 教材习题 5.3 第 5 题
4. 教材习题 5.5 第 3 ， 6 题
4. 复 习 题 5 第 11 ，12 题

作 业
第一章 行 列 式
1. 教材习题 1.4 （1） 第 1（5） 题
1.（5）计算下列行列式
解： (第1列减第2列,第3列减第4列)
= (第2行减第1行,第4行减第3行)
= (第3行减第2行)
=

2. 教材习题 1.4（2） 第 2 题
计算下列行列式

3. 教材习题 1.6 第 3 ， 5 ， 6 题
第6题 ---- 计算2n阶行列式
D=
解:

D＝
＝＝

4. 复 习 题 1 第 4， 5 ， 6 题
第4题——计算行列式

第5题 -------计算行列式
解： (将各列均加到第1列)
(对第1列展开)
(这是(n-1)阶下三角形行列式)

第二章 线 性 方 程 组
1. 教材习题 2.1 第 1 （1）题

2. 教材习题 2.2（2） 第 1 （3） ，3 题

3. 教材习题 2.5 （2） 第 2 题

4. 教材习题 2.5 （3） 第 5 题
设向量组 可以由向量组 线性表出，求证：

证：设向量组的秩为 ：，取它的一个极大线性无关组 ；设向量组的秩为 ：，
取它的一个极大线性无关组。
因向量组与它的极大线性无关组等价，故与等价，
与等价。由题设向量组可由 线性表出，根据等价关系的传递性，可由线性表出，因线性无关，所以 ，即 。

5. 教材习题 2.7（1） 第 3 题
6. 教材习题 2.7 （2） 第 1 （1） 题
7. 教材习题 2.7 （3） 第 1 （2） 题
8. 复 习 题 2 第 7 ，10 题
第 10 题

证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即
，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组
（ I ）
因可由线性表出，那么向量组（ I ）可由线性表出。又因是向量组（ I ）的部分组，则可由向量组（ I ）线性表出。于是向量组（ I ）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而 。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（ I ）的线性无关部分组。但向量组（ I ）的秩也为，那么从向量组（ I ）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。于是
向量组（ I ）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（ I ）可由线性表出，从而与向量组（ I ）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。

第三章 矩 阵
1. 教材习题 3.1 （2） 第5 （4） 题

2. 教材习题 3.2 第 5 ，6 题
第6题---- 设 A ，B 都是 n 阶矩阵，试证：如果 AB＝0，那么 。
证：设n阶矩阵A,B的秩分别为 ，并记 。设B的列向量组为，则有 ，即
（）
故B 的任何一个列向量 （）都是齐次方程组 的解，都可由齐次方程组 的基础解系线性表出，于是

由此得 。

3. 教材习题 3.3 第 4 题

4. 教材习题 3.4 第 5 （1） 题

5. 教材习题 3.5 第 9 题
习题 3.5
9 . 求与向量组(1,0,1,1) ,(1,1,1,-1) ,(1,2,3,1)等价的正交单位向量组.
解: 记 , , ,分别取它们的前3个分量,得 ,,.由于
,故 线性无关. 每个向量再加一个分量,它们仍线性无关,故 线性无关.下面用Schmidt正交化方法,求与等价的正交单位向量组.
正交化--- 令

=()
再把单位化:
=() ,

是与等价的正交单位向量组.

6. 复 习 题 3 第 10 , 15 题
10. 设是一个阶矩阵（），试证：

解：当 时，可逆，。因 ，两边取行列式，得 ，则有 ，故 。
当 时， 的非零子式的最高阶数为 ，，从而

这表明，的列向量组都是齐次方程组 的解，故的列向量组可由
的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，
于是 。 但因 的非零子式的最高
阶数为，则矩阵的元素 的代数余子式中至少有一个不为零，故
。
当 时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零，
故 。

第四章 矩 阵 的 对 角 化
6. 教材习题 4.1 第 4 题

7. 教材习题 4.2 第 1 （4）题
1. 求下列复系数矩阵的特征值和特征向量。
（4）
解：特征多项式
特征值
当时，求的基础解系：

因此得一般解： （X3为自由未知量）
因，基础解系含两个独立解，
取分别为（1，0），（0，1）得基础解系

属于特征值的特征向量为
当时，求的基础解系：

一般解： （X3为自由未知量）
基础解系为
属于特征值的特征向量为
8. 教材习题 4.3 第 2（1）（2） ，4 题
第2题---2.设分别是A属于的特征向量，而且，试证：
（1）线性无关；
（2）不可能是A的特征向量。
证：已知
1. 为证明线性无关，考察
用A左乘式（a），得
(b)
用乘式（a）： (c)
式（c）减式（b）,得
因特征向量
于是由式（a）得，
但
故线性无关。
2. 为证明不是A的特征向量，用反证法。
设是A的特征向量，那么有
但
二式相减，得
但前面已证明线性无关，故有
但这与题设矛盾，所以不是A的特征向量。，

第4题----- 是一个3阶方阵。已知它的特征值为 ，
的属于特征值的特征向量依次为 ：
， 求 矩阵 。
解：的属于不同特征值的特征向量 线性无关，则可对角化，以
为列向量组构成可逆矩阵：
则有 ，于是 。
先求 ：

， 故
于是

9. 教材习题 4.4 第 1 （ 1 ） 题

10. 复 习 题 4 第 4 ， 8 题
4. 试证：矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零。
证：必要性——因A可逆，则,欲证A的特征值均不为0，用反证法，设A有一个特征值，那么它是A的特征多项式的根，从而有

由此得，这与A可逆相矛盾。所以，A的特征值均不为0。
充分性：——A的特征值均不为0，则A的特征多项式没有零根。
由§4.2知，A的特征多项式

它没有零根，则，故A可逆。

第五章 二 次 型
1. 教材习题 5.1 第 1 ，4 （1） （2） 题
习题 5.1
1. 证明: 合同于
证: 将的第1,2列互换,第1,2行互换,再将第2,3列互换,第2,3行互换,得.上述初等变换可由初等矩阵的左乘,右乘来实现,即

=
= =
其中
是可逆矩阵,故 合同于

2. 教材习题 5.2 第 2 题

3. 教材习题 5.3 第 5 题

4. 教材习题 5.5 第 3 ， 6 题
3 . 试证: 如果 A是正定矩阵，那么 A的主子式全大于零。
证：取阶矩阵A的任意一个 阶（）主子式

为证明，将矩阵A的第1行与第行互换，第1列与第列互换；将A的第2行与第行互换，第2列与第列互换；直至第行与第行互换，第列与第列互换。即进行下列初等变换：

A经上述变换后，变为矩阵B，又因，故有
B＝
令C＝，则C是可逆矩阵，于是由 B＝，可知A与B合同。因合同变换不改变矩阵的正定性，故由A的正定可知B正定，而是B的阶顺序主子式，故
（）
所以，正定矩阵A的主子式全大于零。

4. 复 习 题 5 第 10 ，11 题
11. 设 是一个实二次型，有实 n 维向量 使 ，试证：必存在实 n 维向量 ，使
证：由题设可知，实二次型是不定的，故可找到非退化线性替换
，将此实二次型化为规范形：
＝
其中 <,是二次型的秩，是正惯性指数。 令 ，，， ，于是可由
＝ （是可逆矩阵）
得到向量 .
因是可逆矩阵, 也可逆, 是非零向量 ,则由利用Cramer法则,可知 是非零向量, 且使此实二次型的规范形

。