1、第三章 表示力学量的算符
第一部分；基本思想与基本概念题目
1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。
2. 如何理解力学量完全集？
3. 守恒量有哪些特征？
4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？
5. 如何构造力学量算符？
6. 若y1与y2是力学量F属于同一本征值l的两个不同本征函数，则y＝C1y1＋C2y2（C1，C2是任意常数）是否仍是F的本征函数。
7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？
8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？
9. 试述│Cn│2的物理意义。
10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量
2、完全集？
11. 对氢原子n，l，m这三个量子数分别决定哪些力学量？
12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。
13. t＝0时，粒子处于力学量F的 本征态，则在t时刻它是否处于该本征态？
14. 的本征态是否一定是 的本征态？举例说明。
15. 的本征态是否一定是的本征态？
16. 当氢原子处于ynlm（r，q，f）＝Rnl（r）Ylm（q，f）态时，哪些力学量可同时确定，其值分别是多少？
17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A和B两力学量的共同本征态？
第二部分：基本技能训练题
1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任
3、意态）
2. 判断下列等式是否正确
3. 设y（x）归一化，｛jk｝是 的本征函数，且
（1） 试推导Ck的表达式。
（2） 求证力学量在y（x）态的平均值 。
（3） 说明|Ck|2的物理意义。
4. 一维谐振子处于基态y0（x）态，求该态中
（1） 势能的平均值
（2） 动能的平均值
（3） 动量的几率分布。
5. 氢原子处于 态，求
（1） r的平均值。
（2） －e2/r的平均值
（3） 最可几半径.
（4） 动能平均值.
6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为
Jer= Jeq=0, Jej=(
4、eћm/μrsinθ)|ψnlm|2
7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成
(1) 求一圆周电流的磁矩
(2) 求证氢原子磁矩为 M=Mz=-meћ/2μ
8. 求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系
9. 证明氢原子中电子的力学量算符 与 是守恒量.
10. 设线谐振子处于 描述的状态, 则在该态中能量可能取哪些值? 对应的几率各是多少? ( 分别是基态与第一激发态的本征函数)。
11. 上题中用两种方法求能量平均值。
12. 设粒子处于Ylm(q,j)态,求该态中Lx, Ly, Lz的平均值.
13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的
5、能量经典表达式是H=L2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。
（1） 转子绕一固定轴转动。
（2） 转子绕一点转动。
14．若 都是厄密算符，且
(1) 是否是厄密算符？试证明。
(2) 是否是厄密算符？试证明。
15.
16. t＝0时，粒子处于态
求此时粒子平均能量和平均动能。
17. 证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。
18. 下列哪些算符是厄密算符
19. 设氢原子处于
求氢原子能量、角动量平方及z分量
6、的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。
20. 证明自由粒子能级是简并的。
21. 求解算符 的本征方程。
22. 求解自由粒子的能量本征方程。
23. 一维运动粒子的状态是
其中l>0，求
（1） 粒子动量的几率分布。
（2） 粒子平均动量。
24.
25. 设体系处于y＝C1Y11＋C2Y10态中，求
（1） 力学量Lz的可能值与平均值。
（2） L2的可能值与平均值。
26. 试求角动量平方算符当本征函数为
Y(q,j)=A[cosq+asinqcosj]的本征值.
第三部分: 小论文题目
1. 量子力学中守恒量研究。
2. 守恒量与对称性之间关系。
3. 力学量平均值计算方法探讨。
4. 算符与它所表示力学量之间关系研究。
5. 球坐标下角动量算符的推导方法研究。
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