【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-8.1椭-圆课时提能训练-文-新人教版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 8.1椭 圆课时提能训练 文 新人教版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
(A)　　　(B)　　　(C)1　　　(D)
2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
(A) (B) (C) (D)
3.已知椭圆x2＋2y2＝4，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是(　　)
(A)x＋2y－3＝0 (B)2x＋y－3＝0
(C)x－2y＋3＝0 (D)2x－y＋3＝0
4.(预测题)已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)
(A) (B)
(C) (D)
5.若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)
(A)1 (B)或
(C) (D)3或
6.已知F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0，若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是(　　)
(A)y＝x (B)y＝－x
(C)y＝－x (D)y＝x
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是　　　　.
8.(易错题)已知F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于　　　　.
9.椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·桂林模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1)，直线l：y＝x＋m交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围.
11.(2012·钦州模拟)已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3) 与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.

(1)求m的值与椭圆E的方程；
(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围.
【探究创新】
(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x2＋y2＝1上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使＝cosθ＋sinθ.
(ⅰ)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
(ⅱ)求OA2＋OB2.

答案解析
1.【解析】选B.椭圆＋＝1的右焦点为F(1,0)，
∴它到直线y＝x(即x－y＝0)的距离为d＝＝.
2.【解析】选B.设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a＋2c＝2×2b，
即a＋c＝2b(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)，
整理得：5c2＋2ac－3a2＝0，
即5e2＋2e－3＝0e＝或e＝－1(舍).
3.【解析】选A.设直线与椭圆相交于两点(x1，y1)，(x2，y2)，则：
x＋2y＝4，x＋2y＝4，∴x－x＋2(y－y)＝0，
即：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴＝－，
又∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴k＝－，
∴直线方程为：y－1＝－(x－1)，即：x＋2y－3＝0，
故选A.
4.【解析】选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点M(x，y)，kAB＝＝－，
x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y,3x＋4y＝12　①，
3x＋4y＝12　②，
②－①得3(x－x)＋4(y－y)＝0，
即y1＋y2＝3(x1＋x2)，即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，而M(x，y)在椭圆的内部，
则＋＜1，即－＜m＜.
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧
对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
5.【解析】选D. 当椭圆＋＝1的焦点在x轴上时，
a＝，b＝，c＝，
由e＝，得：m＝3；
当椭圆＋＝1的焦点在y轴上时，
a＝，b＝，c＝，
由e＝，得m＝.
∴m＝3或.
6.【解题指南】由＋＝0知，A、B两点关于原点对称，设出A点坐标，利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1，y1)，因为＋＝0，所以
B(－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，＝(2c,0)，
又因为·＝0，所以(c－x1，－y1)·(2c,0)＝0，即x1＝c，代入椭圆方程得y1＝，因为离心率e＝，所以，a＝c，b＝c，A(c，)，所以直线AB的方程是y＝x.
7.【解析】由题意知，∴k>3.
答案：k>3
8.【解析】因为△F2AB是等边三角形，所以A(－，c)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，因为c2＝a2－b2，
所以，4a4－8a2c2＋c4＝0，即e4－8e2＋4＝0，
所以，e2＝4±2，e＝－1或e＝＋1(舍).
答案：－1
【误区警示】本题易出现答案为－1或＋1的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.
9.【解析】∵|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
∴由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴c≤a≤c，
∴≤e≤，
∴椭圆离心率e的取值范围是[，].
答案：[，]
10.【解析】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为e＝，所以a2＝4b2，又因为椭圆过点M(4,1)，所以＋＝1，解得b2＝5，a2＝20，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)将y＝x＋m代入＋＝1并整理得5x2＋8mx＋4m2－20＝0，Δ＝(8m)2－20(4m2－20)>0，
解得－55，
∵m＜3，∴m＝1.圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.
设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，
即kx－y－4k＋4＝0.
∵直线PF1与圆C相切，∴＝.
解得k＝，或k＝.
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去.
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0).
2a＝|AF1|＋|AF2|＝5＋＝6，a＝3，
a2＝18，b2＝2.椭圆E的方程为：＋＝1.
(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，
·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.
∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，
而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.
则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36].
x＋3y的取值范围是[－6,6].
∴x＋3y－6的取值范围是[－12,0]，
即·的取值范围是[－12,0].
【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0 ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，
解得k<－或k>，即k的取值范围为
(－∞，－)∪(，＋∞)，
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，x1＋x2＝－. ②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2. ③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1).
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
【探究创新】
【解析】(1)依题意，得c＝1.于是，a＝，b＝1.
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)(ⅰ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1　 ①，
＋y＝1　②.
又设M(x，y)，因为＝cosθ＋sinθ，
故
因M在椭圆上，故＋(y1cosθ＋y2sinθ)2＝1.
整理得(＋y)cos2θ＋(＋y)sin2θ＋2(＋y1y2)cosθsinθ＝1.
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，
得＋y1y2＝0.
所以，kOAkOB＝＝－为定值.
(ⅱ)(y1y2)2＝(－)2＝·＝(1－y)(1－y)＝1－(y＋y)＋yy，故y＋y＝1.
又(＋y)＋(＋y)＝2，故x＋x＝2.
所以，OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝3.
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