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轴对称图形的性质及应用

　　如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．
　　轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．
　　在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．
　　另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．
　　例1已知直线外有一定点 ，试在上求两点，，使（定长），且最短．
　　分析：当把点沿方向平移至（如图1），使，那么问题就转化为在上求一点，使为最短．

　　作法：过作，使，作关于的对称点，连结交于B．在上作，点，为所求之两点．
证：在上另任取，连PA，，，，，，则，，又为平行四边形，∴． ∵＋＞，
∴＋＞PA＋PB．
　　例2如图2，△ABC中，为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．

　　分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．
　　证：（略）．
　　点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）．
　　例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于，求此梯形的高．
　　解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．

　　∴OM＋ON＝，即梯形高MN＝．
　　例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于．
　　证：如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．

，又

　　例5　如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．
　　已知：如图5．四边形ABCD中，M，F，N，E分别为各边的中点，且MN，EF为它的对称轴．

　　求证：ABCD是矩形．
　　分析：欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．
　　证：∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF， ∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．
　　又∵，．∴DEAF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝．∴ABCD是矩形．

轴对称应用举例
山东　　徐传军
　　生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．
　　一、确定方向
　　例1　如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球F ？
　　解：作E点关于直线CD的对称点E′，连接FE′，与CD的交点P即为撞击点，点P即为所求．
　　例2　如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？
　　解：作AB的垂直平分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC方向行驶即可．
　　二、确定点的位置找最小值
　　例3　如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点Ｅ,使得BE+DE最小．
　　解：作点B关于AC的对称点B′,连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点．

　　例4　如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．
　　解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．
　　三、与其他学科结合
　　唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分你能对出下联来吗?
　　对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．
　　太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．
　　生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．

用轴对称解实际问题
山东 于秀坤
在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.
例1　要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？
分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．

　　　　　 图1 图2
例2　如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？
分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．
例3　如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．
（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？
（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？

图3
分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．
解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．

图4 图5
（2）如图5，作法类似（1）．
例4　如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：
（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？
（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

　　 图5 图6 图7
解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等．
（2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B的距离和最短．

用轴对称知识解决打台球一题
山东　　　　于秀坤
题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛．
（1）小强把白球放在如图1所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看小强这样击打，黑球能进F洞吗？请画图的方法验证你的判断，并说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　 　　图1
（2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．

分析：本题是一道操作型探究题，主要根据轴对称的知识的有关进行探究．第(1)题可以通过击打AC边使球反弹进F洞．第(2)题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适当的估算，实质上等同于几何角度的计算，二者有着密切的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于F洞．方案可以有以下情况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)通过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；(3)用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要想准确撞击黑球，必须找准击球的方向角度，准确估算击球的方向．在数学上，可以借助轴对称的知识来解决问题．
解: (1)如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M作法线MN⊥AC，在MN右侧∠F′MN=∠PMN，由于射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．

图2
（2）方案1：如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同一直线上．
方案2：如图4，延长AC到H点，使AC=CH，连接GH交FC于点K，根据轴对称的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．
方案3：如图5，延长AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，根据轴对称知识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．

　　　 图3 图4 图5

最 短 线 路 问 题
河北 欧阳庆红 吴立稳
同学们，对于最短线路问题你一定很陌生吧?运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题，这类问题在生产、科研、生活中应用广泛．请同学们看下面几个生活中的最短线路问题．
一、两点一线问题
例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?
M
N
P
图1
B
A
分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．
作法:（图2）：
⑴作点A关于MN的对称点A’；
⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B．
∴点P就是所要求的点．
B
B
A
M
N
A’
P
图2

说明：本题黑球A，白球B在MN的同侧，直接确定撞击点的位置不容易，但若A、B在MN的异侧，击球路线就容易确定了．本题可利用轴对称的特征将A点转化到MN的另一侧，设为A’，连接A’B即可确定撞击点．

二、一点两线问题
小岛小岛
观测点
图3
例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?
　　分析：此题要求时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D为BC边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．
N
F
B

C
A
D

E
G
M
图4
解析：如图4，作点D关于AB的对称点F；点D关于AC的对称点G， 连接FG，交AB于M，交AC于N．
∴D、M、N即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．

三、同类变式
例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO，BO），AO桌面上摆满了糖果，BO桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？
分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论：
①∠AOB小于90°；②∠AOB等于90°。
A
B
O
C
图7
A
O
B
C
D

E
F
G
图6
O
B
C
图5
A

解析：①如图6，∠AOB小于90°
1．作点C关于AO的对称点D，作点C关于BO的对称点E；
2．连接DE交AO于F，交BO于G；
则小亮的行走路线为C F G C
②如图7，∠AOB等于90°，此时从点C沿直线走到O处，再直线返回C处．
四、拓展引申
例4 如图8所示，甲、乙两个单位分别位于一条封闭街道两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：桥建在何处才能使甲到乙的路线最短？（桥必须与街道垂直）
甲

B
桥
A
乙
封闭街道
图8

分析：此题的关键是要想办法把中间的一段“桥”去掉，然后连结甲、乙之间线段，其中要用到轴对称的性质．
解析：（1）作封闭街道中线（即过街道的中点，平行于街道的直线）a，
（2） 作B关于a的对称点B’；
（3）连结A’B，作线段A’B的垂直平分线a’；
（4）设a’交街道靠近A点的一侧于P点；
（5）过点P作垂直于街道的天桥PQ．
PQ即为所求（如图9）．
说明： 你能应用轴对称知识:证明所选的点P于点Q构成的是最短路线吗？
a
a’
B
A
Q
P
B’
图9

轴对称在建筑布局中的应用
山东　　孙新东
　　同学们都知道四合院吧，四合院在我国是一种比较有特色的建筑形式，这种建筑的布局是以南北纵轴对称布置和封闭独立的院落为基本特征的．其实，不止是四合院，建筑上的很多布局问题都要用到轴对称的知识．下面举几个例子：
图1
例1　如图1，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一凉亭供人们小憩，使凉亭中心到三条马路的距离相等，试确定凉亭的中心位置．
分析：由于凉亭中心到三条马路的距离相等，则凉亭的中心应在三条马路所围成的三角形的三条内角平分线的交点处．
解：画出三角形三内角平分线，它们的交点即为凉亭的中心．
A
B
l
图3

C
A
B
l
图2
例2　如图2，在铁路的同侧有，两个工厂，要在铁路边建一个货场，货场应建在什么地方，才能使，两厂到货场的距离之和最短．

分析：不妨假设，在的异端，根据“两点之间线段最短”的结论，只要连接，，和的交点就是所要确定的点，而本题，两个工厂在的同侧，所以很容易想到把“同侧”转化为“异侧”．
解：（1）找点关于的对称点．
　　（2）连结，交于，则点就是要在路边建的货场的最合适的地点．（见图3）
A
B
C

图4
例3 如图4，，是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库，现在想在两条公路上建两个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问两加油站应如何选址．
分析：上述问题可化为：在锐角内部有一个点,试作一个三角形,以为一个顶点, 另外两个顶点分别在,上，且使其周长最小．
解：如图4，取关于，的对称点，．连结，交，于，．则，两点即为所求．
数学是基础学科，也是应用学科．在用中学，在学中用，只有这样，才能学好数学，才能提高自己的数学水平．

对称之后解方程
山东　　韩天武
　　求有关最小值问题，经常利用对称的思想转移点的位置，改变思维角度，再利用（直线）一次函数的解析式求得最小值点的坐标，真正体现出“数形结合”的数学思想．
　　例1　已知两点A（0，2），B（4，1点P是x轴上的一点，且PA＋PB的值最小，求点P的坐标．
　　分析：如图1，在坐标系中先标出点A、B的位置，在x轴上要确定一点P，使PA＋PB 最小，先作出点A关于x轴的对称点A′，连结A′B，与x轴交于点P，根据“两点之间，线段最短”的道理，点P就是要求的点（如果另取一点P′，则P′A＋P′B>PA＋PB，这些都应该考虑到）．

　　解： 取点A关于x轴的对称点A′，因为直线 A′B经过点A′（０，－２）与点B（４，１），设直线A′B的解析式为y=kx+b，则可得方程组
　　解得
　　所以，当y=0时，．
　　所以点P的坐标为．
　　例2　某公路的同一侧有A、B、C三个村庄要在公路边建一货站D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．将A、B、C三点画在平面直角坐标系中，如图2，x 轴为公路，货站要建在公路边上，且要保证送货路程最短，请画出点D的位置，并求出点D的坐标．
　　分析：假设点D已确定，送货路程之和为DA＋AB＋BC＋CD，因为点A、B、C的位置已确定，所以AB＋BC是固定的，只要DA＋CD最小就可以保证送货路程最短．利用对称思想，可取点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点D，点D即为所求．
　　解：略．过程请同学们自己写出
　　通过以上问题可以看出，在坐标系中，要解决最小值问题，我们可以把步骤归纳为：
　　对称→找点→定直线→解方程→定坐标．

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