1、9.1分式及其基本性质一、教学目的1使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。2使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。二、教学重点、难点重点：分式的意义及其基本性质。难点：分式的变号法则。三、教学过程引言：我们已经学过了整式，知道可用整式表示某些数量关系；学习了整式四则运算，在此基础上学习了一元一次方程的解法和列方程解应用题，但是有些数量关系，只用整式表示是不够的。例题：甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？分析：设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做90个所用的时间是90x（或）
2、小时，乙做60个的用的时间是60（x-6）（或）小时，根据题意列方程 =可以看出、都不是整式。列出的方程也不是已学过的方程。学习本章内容就可以正确认识这样的式子及方程，从而解决问题。1分式在算术里，两个数相除可以表示在分数的形式。分数中的分子相当于被除数，分数中的分母相当于除数。因为零不能做除数，所以分数中的分母不能是零。在代数里，整式的除法也有类似的表示。如前面的例题中，（90x）小时可表示成小时，60（x-6）小时可表示成小时。又如n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷产量（mn）吨，可用式子吨表示。再如轮船的静水速度为a千米/小时。水流速度为b千米/小时，轮船在逆流中航行s千米所需时间s（a
3、-b）小时，可用式子小时表示。、的分母中都含有字母。一般地，用A、B表示两个整式，AB可以表示成的形式。如果B中含有字母，式子叫做分式。基中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。可见，上列各工都是分式。由分子的意义可以知道：（1）分式是两个整式的商。其中分子是被除式，分母是除式。在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用。（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母。式子、都不是分式，因为它们的分母都没有字母。（3）在分式里，分母代数式的值随式中字字母取值的不同而变化。字母所取的值有可能使分母为零。因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义。因此在分式中
4、，分母的值不能是零，例如在里，x0；在里，ab。 例1 当x取什么值时，下列分式有意义？（1）； （2）。 解：（1）由x-20得x2，即当x2时，分式有意义。 （2）由4x+10得x时，分式有意义。例2 当x是什么数时，分式的值是零？解：由分子x+2=0，得x=-2。而当x=-2时，分母2x-5=-4-50，所以当x=-2时，分式的值是零。问题：（1）分式的值为零就是分式没有意义吗？（2）只要分子的值是零，分式的值就是零吗？以为例回答此题。2分式的基本性质我们知道，分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。分数的基本性质是约分、通分和化简繁分数的理论根
5、据。分式也有类似的性质，就是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： 其中M是不等于零的整式。分式的基本性质是分式变号法则。通分，约分及化简繁分式的理论依据。就是说，分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据。例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）； （2）.解：（1）c0， x0， ， .例2 填空：（1）； （2）.解：（1）a0，即填a2+ab。（2）x0，即填x。例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）； （2）.解：（1）. （2）.例4 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母
6、都不含“”号：（1）； （2）； （3）.解：（1）.（2）.（3）.注意：根据分式的意义和基本性质可以归纳得：分子的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式值不变。例5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）； （2）； （3）.解：（1）.（2）.（3）.注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“”号，括号内各项都变号。四、需要注意的几个问题1要特别注意分式中作为分母的代数式的值不得为零的教学。在分数里，分数的分母是一个具体的数，是否为零一目了然；而在分式里，要
7、明确其是否有意义，就必须分析，讨论分母中所含字弱不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零。2从回忆算术里分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质：.从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。首先应引导学生认识到分式的基本性质中的A、B、M表示整式。随着知识的扩充，A、B、M还可代表任何代数式。其次要强调M0。在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M是一个含字母的代数式。由于字母的取值可以是
8、任意的，所以就有M=0的可能性。因此，当我们应用这个性质时，都应考查M这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。3分式的变号规律是由两条法则概括而成的。第一条：分子和分母同时改变符号，分式的值不变。这一条是根据分式的基本性质推导出来的。第二条：只改变分子（分母）的符号，分式本身的符号也要改变，分式的值才不变。这一条用分式的基本性质是推导不出来的。根据分式的意义，分式表示两个整式相除，所以教科书写道：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。分式的变号规律在分式变形中经常用到，学生对此又极容易出现错误，所以要给予足够的重视。- 5 -
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