平行四边形正方形.docx

平行四边形

正方形

知识要点一：
定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形
正方形的性质：
① ：四条边都相等；②角：四角都是直角；
③对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。

例1. 1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.

例2. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE =AE，求证：AF平分∠DAE.

例3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.

限时检测（10分钟）

1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．

3．对角线_________________的四边形是正方形
如图6，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F. 求证：BF=CE.

知识要点二:

正方形的判定方法：
Þ四边形ABCD是正方形.

例1. 正方形的判定：
(1)____________________________________的平行四边形是正方形；
(2)____________________________________的矩形是正方形；
(3)___________________________________的菱形是正方形；
（4）对角线________________________________的四边形是正方形

例2. 如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．

例3.如图，四边形abcd，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F，OE=OF。证明四边形ABCD为平行四边形。

梯形

知识要点三:
解决梯形问题常用的方法：
　　（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；
（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；
　　（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；
　　（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；
（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1 图2 图3 图4 图5

例1如图，□ABCD是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是( )．

9题图
(A)1∶2 (B)2∶3 C)3∶5 (D)4∶7

例2.（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．

例3.梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为______．

限时检测（10分钟）
1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ．

（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．

2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长． （AD=DC=BC=4，AB=8）

3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．

课后作业

一.选择题（3分×10=30分）
1．若菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积为48cm2，AE=6cm，则AB的长度为（
A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm
2．一组对边平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（ ）
A．菱形或矩形; B．正方形或等腰梯形; C．矩形或等腰梯形; D．菱形或直角梯形
3．如图，梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，则图中面积相等的三角形有（  ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对

4．如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是（ ）
A.线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定
5．梯形的两底长分别是16cm、8cm，两底角分别是60°、30°，则较短的腰长为（ ）
A．8cm B．6cm C．10cm D．4cm
6．在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（ ）

7．A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
8．如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
9题图
9．如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm
10．直角梯形的一个内角为120°，较长的腰为6cm，有一底边长为5cm，则这个梯形的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．25cm2 D．cm2或cm2

二、填一填（3分×10=30分）
11．平行四边形的重心是它的_________．
12．一个矩形的面积为a2-2ab+a，宽为a，则矩形的长为_________．
13．四边形一个内角为60°，四条边顺次是a、b、c、d，且，则这个四边形是____________．
14．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，AB=8，BC=10，则CD=________．
18题图
15．平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC间的距离是4cm，则对边AB和CD间的距离是_________．
16．折叠矩形纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为分别交AB、CD于E、F，若 AD=4cm，AB=10cm，则DE=_______cm．
17．菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为_________．
18．如图，延长正方形ABCD的一边AB到点E，使BE=AC，则
∠E=________．
19．等腰梯形中位线长15cm，一个底角为60°，且一条对角线平分这个角，则这个等腰梯形周长是________．
20．菱形有一个内角是120°，有一条对角线为6cm，则此菱形的边长是______．
三、解答题
21．（6分）如图，有两只蜗牛分别位于一个正方形相邻的两个顶点C、B上，它们分别向AD和CD边爬行，如果它们爬行的路线BE和CF互相垂直．试比较它们爬行距离的长短（要有过程）．

22．（6分）已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．

23．（8分）如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.

24．（8分）如图，AC⊥BC，AE平分∠CAB，CD⊥AB，EF⊥AB，连接FG，求证：CEFG为菱形.

25．（10分）在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P外，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）求BE、QF的长；（2）求四边形PEFH的面积．

26．（10分）如图，梯形ABCD中，∠DBC=30°，DB=12，AC=2，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．

27．（10分）如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AC=BC，且AC⊥BC，AB=AD，求∠CAD.

28．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ECD=45°，若AB=BC=12，ED=10，求△CED面积.

例题选讲

类型一、平行四边形的性质与判定
例1.如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点，①求证：AECF也是平行四边形；②连接BD，分别交CE、AF于G、H，求证：BG=DH；③连接CH、AG，则AGCH也是平行四边形吗？

例2. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60 o，CE=3cm，FC=1cm，求AB、BC的长及ABCD面积.

类型二、矩形、菱形的性质与判定
例3. 如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE＝ ．

例4. 如图，矩形ABCD中的长AB＝8，宽AD＝5，沿过BD的中点O的直线对折，使B与D点重合，求证：BEDF为菱形，并求折痕EF的长．

类型三、正方形的性质与判定
例6. 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．

类型四、与三角形中位线定理相关的问题
例7. 如图，BD=AC，M、N分别为AD、BC的中点，AC、BD交于E，MN与BD、AC分别交于点F、G，求证：EF=EG.

类型五、梯形、等腰梯形、直角梯形的相关问题
例8. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则你可得到哪些结论？

例9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AB＜CD，且∠ABC为锐角，若AD=4，BC=12，E为BC上一点.问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？请说明理由.