初二奥赛培训11：四边形.doc

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初二奥赛培训11：四边形

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一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1、下列命题中假命题有（　　）个
①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边行；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形；
④对角线相等且互相垂直的四边形为正方形；
⑤有一条对角线平分一个内角的四边形是菱形．
A、1 B、2
C、3 D、4
2、（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）
A、AC=BD，AB∥CD，AB=CD B、AD∥BC，∠A=∠C
C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
3、在给定的条件中，能画出平行四边形的是（　　）
A、以60cm为一条对角线，20cm，34cm为两条邻边 B、以6cm，10cm为两条对角线，8cm为一边
C、以20cm，36cm为两条对角线，22cm为一边 D、以6cm为一条对角线，3cm，10cm为两条邻边
4、能判定四边形ABCD是菱形的条件是（　　）
A、对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD B、对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C
C、对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C D、对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C
5、顺次连接四边形ABCD的各边中点所围成的图形是菱形，那么四边形ABCD的对角线（　　）
A、互相平分 B、互相垂直
C、互相垂直平分 D、相等
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
6、梯形的上底等于6，下底等于14，那么它的中位线将梯形分成两部分面积的比为　_________　．
7、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE⊥BC于E，AE=8，则CD的长为　_________　．

8、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　_________　．
9、如图，已知在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，∠EDF=135°，则平行四边形的各角为　_________　．

10、如图，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB=　_________　，AD=　_________　．

三、解答题（共5小题，满分65分）
11、如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB．

12、在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q分别是AD、BC的中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，证明：PQ⊥MN．
13、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BC=BD，AC与BD相交于O．求证：CD=CO．

14、如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的大小．

15、如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，求BN的长．

答案与评分标准
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1、下列命题中假命题有（　　）个
①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边行；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形；
④对角线相等且互相垂直的四边形为正方形；
⑤有一条对角线平分一个内角的四边形是菱形．
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定。
专题：推理填空题。
分析：①根据同旁内角互补，两直线平行，①所给的条件可证明是平行四边形；②梯形也符合一组对边平行一组对边相等，所以②是错误的；③用同旁内角互补可证明两组对边平行；④⑤画图可解．
解答：解：①根据同旁内角互补，两直线平行，①所给的条件可证明是平行四边形，故是真命题．
②的反例是等腰梯形，故是假命题．
③所给的条件可证明到两组对边平行，故是真命题．
④、⑤反例见图即可，
其中AC=BD，BD垂直平分AC，但BO≠DO
故④⑤是假命题．
故选C．
点评：本题考查假命题的概念以及正方形、菱形、平行四边形的判定以及反例来说明问题的方法．
2、（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）
A、AC=BD，AB∥CD，AB=CD B、AD∥BC，∠A=∠C
C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
考点：正方形的判定。
专题：证明题。
分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
解答：解：A，不能，只能判定为矩形；
B，不能，只能判定为平行四边形；
C，能；
D，不能，只能判定为菱形．
故选C．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
3、在给定的条件中，能画出平行四边形的是（　　）
A、以60cm为一条对角线，20cm，34cm为两条邻边 B、以6cm，10cm为两条对角线，8cm为一边
C、以20cm，36cm为两条对角线，22cm为一边 D、以6cm为一条对角线，3cm，10cm为两条邻边
考点：作图—复杂作图。
分析：能画出平行四边形，首先要能画出三角形：两条对角线的一半和平行四边形的一边构成三角形；平行四边形的两条边和一条对角线构成直角三角形．
解答：解：A、20+34不大于60，不能构成三角形，错误；
B、3+5不大于8，不能构成三角形，错误；
C、10+18＞22，能构成三角形，正确；
D、3+6不大于10，不能构成三角形，错误；
故选C．
点评：此题主要考查平行四边形的作图，综合考查了平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．
4能判定四边形ABCD是菱形的条件是（　　）
A、对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD B、对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C
C、对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C D、对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C
考点：菱形的判定。
专题：推理填空题。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解答：解：A、C的反例如图，AC垂直平分BD，但AO≠OC；

B只能确定为平行四边形．
故选D．
点评：主要考查了菱形的判定．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．
5、顺次连接四边形ABCD的各边中点所围成的图形是菱形，那么四边形ABCD的对角线（　　）
A、互相平分 B、互相垂直
C、互相垂直平分 D、相等
考点：菱形的判定；三角形中位线定理。
专题：推理填空题。
分析：新图形为菱形，那么各边相等，各边都等于原四边形对角线的一半，那么原四边形对角线相等即可．
解答：解：顺次连接四边形ABCD的各边中点所围成的图形是平行四边形，如图
DG平行且等于AC，
EF平行且等于AC，
故HG平行且等于EF，
同理HE平行且等于GF平行且等于BD，
若EFGH为菱形，则必须HE=HG，
∴AC=BD．
故选D．

点评：本题考查菱形的判定和三角形中位线定理．主要应用了三角形中位线定理得到各边与原四边形对角线的关系．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
6、梯形的上底等于6，下底等于14，那么它的中位线将梯形分成两部分面积的比为　2：3　．
考点：梯形中位线定理。
专题：计算题。
分析：易求梯形中位线长10，因分成的两梯形的高相等，设为h，根据梯形面积公式求得用h表示的两梯形面积，最后求比值即可．
解答：解：∵梯形的上底等于6，下底等于14，
∴梯形中位线长为：（6+14）÷2=10，
∵分成的两梯形的高相等，设为h，
∴两梯形面积分别为（6+10）h=8h，（10+14）h=12h，
∴两梯形的面积比为2：3．
故答案为：2：3．
点评：此题主要考查梯形中位线的性质：梯形中位线等于上底和下底和的一半．注意理解分成的两梯形的高相等．
7、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE⊥BC于E，AE=8，则CD的长为　8﹣　．

考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题；作图题。
分析：作DF⊥AE于F，则四边形DCEF为矩形，即DC=EF，∴要求CD的长度，求出AF即可．再根据△ABE≌△ADF，要求AF求出BE即可．
解答：解：如图，作DF⊥AE于F，则DCEF为矩形，DCEF，
又因为∠1+∠2=90°，
∠2+∠3=90°，
所以∠1=∠3，
又因为AB=AD，
所以△ABE≌△ADF，
所以AF=BE，
在Rt△ABE中，
BE=，
所以DC=EF=AE﹣AF=8﹣．

点评：本题考查了在直角三角形中勾股定理的合理运用和全等三角形的构建及证明．解本题关键是求证全等三角形，和已知2边求直角三角形的第3边．
8、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　10　．
考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．
解答：解：
易证△AFD′≌△CFB，
所以D′′F=BF，
设D′F=x，则AF=8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，
解之得：x=3，
所以AF=AB﹣FB=8﹣3=5，
所以S△AFC=•AF•BC=10．
故答案为 10．
点评：本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
9、如图，已知在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，∠EDF=135°，则平行四边形的各角为　∠BAD=∠BCD=135°，∠B=∠ADC=45°　．

考点：多边形内角与外角；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：根据四边形内角和为360°，由已知易求∠B=45°；再根据平行四边形的性质即可求出平行四边形的各角度数．
解答：解：∠E=∠F=90°，∠B+∠E+∠EDF+∠F=360°，
所以∠B+∠EDF=180°，
所以∠B=45°，
所以∠BAD=∠DCB=135°，∠ADC=45°．
故答案为：∠BAD=∠BCD=135°，∠B=∠ADC=45°．
点评：此题考查了平行四边形的性质和四边形的内角和为360°的性质，难度不大．
10如图，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB=　5.6　，AD=　7　．

考点：平行四边形的性质；含30度角的直角三角形。
分析：由题中条件不难得出△AEF、△ACD为直角三角形，进而解直角三角形即可．
解答：解：因为AF⊥BC，AD∥BC，
所以AF⊥AD，
所以∠DAE+∠EAF=90°
所以∠DAE=60°
所以∠D=30°
在Rt△ADE中，AD=2AE=7
同理，AB=5.6
点评：主要考查平行四边形性质的及解直角三角形，能够运用其性质熟练解决此类问题．
三、解答题（共5小题，满分65分）

11、如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB．

考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：延长EC交AB于G，得出四边形AGCD是平行四边形，即AD=GC，又有AD=CE，所以可得点C是EG的中位线，进而结论得证．
解答：解：延长EC交AB于G，如图，

∵EC∥AD，DC∥AB，
∴CG=AD，
又∵AD=CE，
∴EC=GC，
∵DF∥AB，
∴EF=FB
点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练掌握．
12、在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q分别是AD、BC的中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，证明：PQ⊥MN．
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：证明题。
分析：作辅助线连接PN、QN、QM、PM，显然PN平行且等于AB，MQ平行且等于AB，PM平行且等于DC，NQ平行且等于DC，因为AB=CD，所以PN=NQ=QM=PM，容易证明四边形PNQM是菱形，即可得出结论．
解答：证明：如图，连接PN、QN、QM、PM，
显然PN平行且等于AB，MQ平行且等于AB
PM平行且等于DC，NQ平行且等于DC
因为AB=CD
所以PN=NQ=QM=PM，
所以四边形PNQM是菱形，
所以PQ⊥MN．

点评：本题考察了菱形的判定和性质，难度较大，关键根据题意巧妙地作出辅助线．
13、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BC=BD，AC与BD相交于O．求证：CD=CO．

考点：梯形；等腰三角形的判定。
专题：证明题。
分析：作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，证明△COD为等腰三角形即可．
解答：解：如图，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
在Rt△ABC中，BC=AB，AF=AB，
∴AF=BC，
又∵DE=AF，
∴DE=BC=BD，
故∠1=30°，
∵BC=BD
∴∠BDC=∠BCD==75°，
∴∠DOC=∠1+∠ACB=30°+45°=75°=∠BDC，
∴DC=CO．

点评：本题考查了梯形及等腰三角形的判定，难度一般，关键是巧妙作辅助线进行解答．
14、如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的大小．

考点：矩形的性质；三角形内角和定理。
专题：计算题。
分析：连接AC，则AC=BD=CF，根据CA=CF即可证明∠F=∠5，即可证明∠4=∠2，即可求得∠4=∠2==45°．
解答：解：如图，连接AC，则AC=BD=CF，
所以∠F=∠5
而且∠1=∠3
∠4=∠6﹣∠7=∠BEF+∠F﹣∠7
=90°﹣∠7+∠F
=∠1+∠F
=∠3+∠5
=∠2
所以∠4=∠2==45°，
答：∠BAF的度数为45°．

点评：本题考查了长方形对角线相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求∠4=∠2是解题的关键．
15、如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，求BN的长．

考点：勾股定理的应用；梯形。
分析：可过点D作DE⊥AB，取BC中点F，连接MF，则可得Rt△ADE≌Rt△NMF，所以FN=AE，进而可求解BN的长．
解答：解：过点D作DE⊥AB，取BC中点F，连接MF，如图所示

∵M，F为AD，BC的中点，∴MF=（DC+AB）=8cm
∴MF=DE=8，又MN⊥AD，∴∠NMF+∠DMF=90°，又∠DMF+∠ADE=90°，MF∥AB，∴∠ADE=∠NMF
∴Rt△ADE≌Rt△NMF，∴FN=AE=AB﹣CD=2cm，
又FB=BC=4cm，∴BN=FB﹣FN=2cm
点评：掌握梯形的性质，能够运用其性质求解全等三角形及一些简单的计算问题．

参与本试卷答题和审题的老师有：
lf2-9；mrlin；lanchong；499807835；py168；ln_86；zhehe；yeyue；xiaoliu007；HJJ；fzf。（排名不分先后）
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2011年10月22日
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