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第三章 衍射理论基础衍射是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离“直线传播”的现象。“光的衍射”也可以叫作“光的绕射”，就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传播到障碍物后面的阴影区。对于声波和无线电波来说，由于它们的波长较长，在日常生活中可以很明显地感觉到它们的衍射现象；而光的衍射现象，由于光的波长较短，只有光通过很小的孔或狭缝时才能明显地观察到。光的衍射现象，按光源、衍射孔（或屏障）和观察衍射的场三者之间的距离的大小，通常分为两种类型：一种叫菲涅耳（Fresnel）衍射，这是光源和衍射场或二者之一到衍射孔的距离都比较小的情况；另一种叫夫琅和费（Fraunhofer）衍射，这是光源与衍射场都在离衍射物无限远处的情况。3-1 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯（Huggens）原理是描述波的传播过程的一个原理。如图所示，设波源S在某一时刻的波阵面为，面上每一点都是一个次波源，发出球面波。次波源在随后的某一时刻的包络面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的传播方向。这就是惠更斯原理。只根据惠更斯原理是不能确定衍射花样的分布的。菲涅尔在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波叠加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。据此我们可以建立一个单色波在传播过程中两个任意面上光振动分布之间的关系。我们现在来考察一个单色点光源M对于任意一点P的作用，如图所示。根据惠更斯-菲涅尔原理，光源M对P点的作用可以看成M与P之间的任一个波面上各点所发出的次波在P点叠加的结果。如果我们不考虑时间因子，单色点光源M在波面上任一点Q产生的光振动的复振幅可以表示为a0ejkr/R（其中a0是离点光源M单位距离处的振幅，R是波面的半径）。在波面Q点取微元波面ds，则ds面元的次波源发出的次波在P点产生的复振幅可以表示为式中r =QP，K()为倾斜因子，表示次波的振幅随元波面法线和QP的夹角而变(称衍射角)。按照菲涅尔的假设，当=0时，K有最大值；随着的增大，K迅速减小，当/2时，K=0。也就是说元波面法线和QP的夹角大于等于90时，元波面对P点的振动没有贡献。此时波面有效部分在P点产生的光振动的复振幅为这就是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。利用这一表达式原则上可以计算任意形状开孔或屏障的衍射问题。但是上述积分在一般情况下计算起来很复杂，只有在某些简单的情况下才能精确求解。对于平面波，衍射屏处各点的复振幅都相同，记此振幅为A，则若观察屏离衍射屏很远，则0，K()常数，所以对于平面波衍射又可近似为3-2 基尔霍夫衍射公式利用惠更斯-菲涅耳衍射公式对一些简单形状的开孔的衍射现象进行计算，虽然算出的衍射光强分布与实际的结果符合的很好，但是菲涅耳衍射理论本身是不严格的。例如它勉强引入倾斜因子K()，缺乏理论根据。菲涅耳原理的缺陷，可以由基尔霍夫(Kirchhoff)的衍射理论来弥补。一、 基尔霍夫积分定理基尔霍夫衍射公式是用下面的方法推导的。因为光波是电磁波，其必然满足波动方程通过对波动方程分离时间变量t，可以得到关于空间位置变量函数U(P)满足的亥姆霍兹(Helmhotz)方程而自由空间单色光的复振幅也只是空间位置变量的函数，所以亥姆霍兹方程的解U一定就是自由空间单色光的复振幅。可以用格林定理求解亥姆霍兹方程。格林定理说的是：两个空间位置函数U(P)和G(P)，如果它们的一阶导数和二阶偏导数在一个封闭面S内部和封闭面S上各点是单值连续的，则有式中表示在S面上各点沿外法线方向的方向导数。这个定理给出了把空间位置函数的体积分变为面积分的关系。如果我们适当选取一个辅助函数G(P)（格林函数），就可以用格林定理解决上面的边界值问题。基尔霍夫选择的格林函数G(P)是以考察点P为中心的单位振幅的球面波的复振幅函数，即。其中r表示空间任意点到P点的距离。由于r=0是G(P)的奇点，因此要正确应用格林定理，必须使P点不包含在体积V内。为此我们作一个以P为中心，为半径的小球面S，这样格林定理在由S和S包围的体积内成立，于是由于U(P)和G(P)都满足亥姆霍兹方程，所以从而即对于S，外法线方向指向球心，它与P点到S面上的矢径方向正好相反，所以在S面上各点，r=，所以对于U(P)，因其自身和其偏导数在P点连续，所以0时U和即是它们在P点的值，对于确定的P点，它们都是有限常量，这样其中d表示元立体角。所以这样，P点的复振幅U(P)可以由包围P点的封闭曲面S上各点的U和的值通过积分求出，这个式子就叫基尔霍夫积分定理。从基尔霍夫积分定理的推导过程知道，它是根据波动方程和格林定理得到的，在推导的过程中没有引入假设或近似，所以它在理论上是严格的。二、 平面衍射物的基尔霍夫积分公式虽然基尔霍夫积分定理具体地表达出惠更斯-菲涅耳原理的基本概念，但不同面元的贡献所遵守的规律却比菲涅耳所假定的要复杂的多。不过，基尔霍夫证明，在大多情况下，这一定理可以化为一种近似的、但是大大简化的形式，它和菲涅耳的数学表达基本相同，但是它同时还给出了菲涅耳理论中尚未确定的那个倾斜因子K()。考虑从点源P0发出的一个单色波，它通过一个不透明平面屏的一个开孔，传播到P。假定开孔的线度比波长大，但比P0和P到屏的距离都小的多。为求得P点的扰动，我们围绕P点作一个封闭面S，对它取基尔霍夫积分。封闭面S由三部分构成（见图）：开孔 ；不透明屏的部分背照面S1；以P为中心R为半径的大球的部分球面S2。这时，基尔霍夫积分定理就可以表示为式中r是P点到面元dS的距离，表示沿积分面外法线方向的微商。这里我们碰到一个问题，就是如何确定、S1、S2面上的G、U、并将其代入上面的式子中。我们先看在S2面上的G、。因为当时，则所以在S2面上，当时是S2面对P点所张的小于4的立体角。我们再看在S2面上的U、。当R时，因为U远离光源区域而无限小，从而但是这一条件并不能保证在R时，也趋于0，从而也不能保证趋于0。为此我们需要用另外的观点分析这一积分趋于0的可能性。很明显从物理上可以假定，光辐射场并非所有时刻都存在，而是从某特定时刻t0开始由波源所产生（当然这一假定偏离了严格的单色性，我们在第一章的例题中已经分析过有限长的简谐波不是单色的），于是在tt0的任何时刻，光波场所充满的空间区域的外边界距光源中心P0的距离不超过c(t-t0)。因此如果R选择的足够大，使得我们在讨论P点的扰动时刻，还不存在S2面上的U(R)（或者说U(R)=0），当然也就不存在S2面上的U(R)对P点扰动的贡献。所以而R时，是一有限值，所以必有上式我们称之为索末菲辐射条件。实际上我们上面的分析就是在证明点光源的索末菲辐射条件。这样P点的复振幅就变为由于不透明屏的遮挡，基尔霍夫假设，S1面对P点的振动也没有贡献，即U、都等于零，所以在面上，假定U、的分布与屏不存在时相同，即完全由入射光波在面的光场决定。根据下图所示的角度关系，我们可以写出其中是P点到面某一点的矢径和该点外法线n夹角余弦。对位于P0的点光源，在Q点的复振幅为其中是P0点到面某一点的矢径和该点外法线n夹角余弦。将上述各值代入基尔霍夫积分公式，得上式就成为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。U(Q)是点光源P0在面Q点的复振幅。当光源为近轴点光源且离衍射屏足够远，r0与n的夹角接近180，从而上式可以写为虽然菲涅耳-基尔霍夫衍射公式是在点光源照明的情况下推导出来的，但是只要注意U(Q)是面Q点的复振幅，其它光源的情况也是成立的。3-3 基尔霍夫衍射公式的讨论和瑞利-索末菲衍射公式一、 基尔霍夫衍射公式的内在矛盾基尔霍夫衍射公式可以给出与实际符合的很好的结果。然而这个公式在理论上存在着一些矛盾。这一矛盾主要由基尔霍夫假设的边界条件违背了势场定理引起。势论中有这样一个定理：如果三维波动方程的一个解在任何非无限小的面元上U、都为零，则这个解一定在空间各处都为零。而基尔霍夫边界条件假定： 不透明屏后S1面上各点U、都为零 开孔面上各点，U、的分布与屏不存在时相同显然基尔霍夫边界条件假定违背了势论定理，是自相矛盾的，从而造成理论上的不自洽。二、 瑞利-索末菲衍射公式基尔霍夫边界条件假定在理论上自相矛盾，必须找出解决的办法。为此索末菲选择了与基尔霍夫不同的格林函数，从而使边界条件不必规定在屏后表面S1上U、都为零，这样就克服了基尔霍夫边界条件假定在理论上的自相矛盾问题。1、 格林函数的另一种选法索末菲选择的格林函数是这样的：其中一个球面波以观察点P为中心，另一个的中心P以衍射屏为对称面对称于P，这样把格林函数记为2、 瑞利-索末菲衍射公式这样在满足索末菲辐射条件的情况下，同样由于在S1和面上，所以在S1和面上，所以不论在S1和面上取何值，都有要计算上面的积分，索末菲规定了如下边界条件：屏后表面S1上的U处处为零；开孔面上的U与没有衍射屏时相同。这样索末菲边界条件假定就克服了基尔霍夫边界条件假定违背势论定理的问题，使其在理论上自洽。此时又所以式中的U(Q)仍然表示的是面上的复振幅分布。上式成为瑞利-索末菲衍射公式。比较瑞利-索末菲衍射公式和菲涅耳-基尔霍夫衍射公式，可以看出，它们的差别仅在倾角因子不同。在近轴条件下，cos(n,r)=-cos(n,r0)=1，它们是一样的。而通常要计算的衍射问题大都属于近轴情况，所以在应用中这两种衍射公式是可以不加区别的。3、 讨论 基尔霍夫边界条件的不自洽性，只是在严格的理论意义上是确实的，但在一定条件下，基尔霍夫边界条件是近似成立的，比如说对无限大不透明屏上一定形状的衍射孔面的情况，基尔霍夫边界条件就基本符合实际。但是当孔的线度比较小（一个或几个波长），衍射物质对上U、的作用不可忽略。 瑞利-索末菲衍射公式并不一定比菲涅耳-基尔霍夫衍射公式应用范围更广。选择格林函数G消除了基尔霍夫边界条件的不自洽性，从理论上说是有意义的，但其边界条件仍是在一定条件下对实际情况的近似描写。 瑞利-索末菲衍射公式与基尔霍夫衍射公式的差别仅在倾斜因子不同，哪个更正确有待进一步讨论。3-4 叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理一. 叠加积分瑞利-索末菲衍射公式与基尔霍夫衍射公式可以统一写为若令则的物理意义是：面上的任意一点P1，其复振幅为，P1点的小面元dS对观察点P的贡献为，故表示在P1点有一单位脉冲（）时，在观察面上得到的复振幅。所以也叫脉冲响应。 是面上所有面元的光振动在P点引起的复振幅的相干叠加，故称叠加积分。 若把衍射过程也看成一种变换，上式又是将变换成的变换式。 按照“系统”的一般概念，衍射作用也可以等效为一种“系统”，这种系统由上式描述，其显然是线性系统，表征了它的全部特性。二. 叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理式的比较叠加积分是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式是比较上面两个式子我们可以发现叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理式的主要区别在于： 叠加积分中存在，说明dS在P点贡献的复振幅，要比把dS看成是一个复振幅为的真实点光源在P点给出的复振幅位相超前。这就解释了菲涅耳公式中没能解释的次波源的位相超前于入射波的问题。 惠更斯-菲涅耳原理中K()的具体形式应当为 （对基尔霍夫衍射公式），或 （对瑞利-索末菲衍射公式）。可以看出K()的取值范围在0,1之间，K()=0；而菲涅耳关于次波的假设K(/2)=0显然是不正确的。 叠加积分中存在，说明dS在P点贡献的复振幅不仅与距离r成反比，还与波长成反比。这也是惠更斯-菲涅耳公式中不曾反映的。但是在实际的考察中，我们又发现叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理式有很多一致的地方： 若我们考察的是衍射光强分布，则次波源的位相超前于入射波就不必考虑，叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理式得到的结果是一致的。 若我们考察的是近轴情况，则K(0)=1，叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理式得到的结果是一致的。 若我们考察的是单色光，的影响就可忽略，叠加积分和惠更斯-菲涅耳原理式得到的结果又是一致的。3-5 衍射公式在频率域中的表述在此之前，所有的衍射规律都是在空域中描述的，即按照“系统”的观点来研究衍射问题，即把系统的特征函数作为基元函数，将更为方便。这时将在空间频率域上讨论衍射问题。一. 衍射现象在频率域的描述建立如图所示的坐标系。屏前的复振幅用U前(x，y)表示，屏的复振幅透过率为t(x,y)，屏后面的复振幅用U0(x，y，0)表示，观察屏与衍射屏的距离为z，观察屏上的复振幅为U(x，y，z)，在空域中在频率域中，U0(x,y,0)可以用其频谱函数G0(fx,fy)表示，U(x，y，z)的频谱函数为Gz(fx，fy)。由二维傅立叶变换其傅立叶逆变换在所有无源点上，复振幅U必须满足Helmhotz方程，所以由于对空域坐标仅是z的函数，所以将代入上面的方程，得这是一个二阶常系数齐次常微分方程，其解为其中是z=0的特解，也就是衍射屏处的频谱函数。至此我们建立起了频谱函数与的关系。频谱函数物理意义的讨论：沿z方向传播的平面波可以表示为，所以可以理解为在z=0处光场是由各种空间频率的平面波叠加而成，而空间频率为的平面波的权重密度函数为，在传播距离z后，在观察面上的光场均由这些平面波叠加而成，权重密度也不改变，只是位相改变了。令，则可以看出，所对应的平面波分量随着z的增大而呈指数急剧衰减，在传播几个波长之后衰减为零这种波叫倏逝波（Evanescent Wave）。（参考羊国光高等光学2.4）此时，相当于传播方向垂直于z轴的平面波，因此它们在z轴方向的能流为零。二. 传递函数和低通滤波器实际上和分别表示了系统的一种变换关系，一个是在空域中的，另一个是在频域中的。显然对频域中的变换我们可以得到一个表征系统变换特征的传递函数我们能得到系统的传递函数本身就说明了这个系统是线性空不变系统（传递函数理论只能适用于线性空不变系统，反之如果一个系统的变换作用具有传递函数，那么这个系统必是线性空不变系统）。若传播距离z大于几个波长，则倏逝波可以忽略，得到所以这也就是说这个传递函数相当于一个有限空频带宽的低通滤波器，只有或时，才能通过这个系统。在频谱面上，这个滤波器是半径为的圆孔，即三. 频率域中透过率函数的作用在空域中根据傅立叶变换的卷积定理，有对于用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏的特殊情况，此时从而所以通过衍射屏以后，频谱由函数变为孔径函数的傅立叶变换，频谱变宽了。孔径越小，频谱展宽越厉害，这一点在下一章夫琅和费单缝衍射中看的很清楚。3-6 非单色光场的衍射公式复色光在空间一点P1的振动，可以表示为空间变量和时间变量的复标量函数，求复色光的衍射场就是求在观察点P的复标量函数。一. 准单色光的衍射线宽比光波频率小的多的光波叫准单色光。假设是最大振幅频率，准单色光条件可以写为我们对的时间变量t作傅立叶变换，可以得到傅立叶变换对就是光波的时间频谱函数。令，则这样我们就可以根据以前的约定，认为是由频率为，振幅为的无数单色平面波的叠加。每一个单色光在P点的衍射光场复振幅可以表示为其中分别表示频率为的光波的波长和波数。对于所有频率的光，某一时刻在P点光场复振幅则为对于准单色光，可以认为，所以将其提到积分号外不会对结果产生严重影响；但是对指数函数中的是否可以看成为必须十分慎重。如果r很大，则会引起足够大的位相差。只有当时，即时，其才不致引起明显的位相差。我们知道准单色光的相干长度为，所以当观察点P离屏的距离r远小于准单色光的相干长度时，上面的式子可以近似为上式便是准单色光的衍射公式。用准单色光的复振幅表示也有相同的形式。它们与理想单色光的衍射公式具有完全相同的形式。二. 非单色光的衍射非单色光的频率范围远大于准单色光，在观察点光振动的表达式为因为将其代入观察点光振动的表达式，得上式就是非单色光的衍射公式。可以看出，P点的光振动是由面上所有经过延迟时间的光振动叠加后对时间的变化率决定的。第三章习题解答（p92）1.证：设点光源发出的发散球面波的复振幅为则在以点光源所在位置为球心，以R为半径的球面上所以即点光源发出的发散球面波满足索末菲辐射条件。2.解：（1）因为，所以又因为关于衍射屏镜象对称，所以，从而（2）根据，而在衍射屏面上，所以显然边界条件应当选择为：在S1区域（即阴影区），方向导数；在孔径区，方向导数与无屏时相同。此时（3）设，则若，则，所以3.解：（1）屏的透过率函数单位振幅平面波垂直照射屏时，在空域中，在频域中其中（2）屏的透过率函数单位振幅平面波垂直照射屏时，在空域中，在频域中其中（3）屏的透过率函数单位振幅平面波垂直照射屏时，在空域中，在频域中（4）屏的透过率函数单位振幅平面波垂直照射屏时，在空域中，在频域中