1、高三数学第二轮专题2：（函数性质2）
江苏省梁丰高级中学 顾云良
一、复习要点
基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容.
二、 基础训练
1．(1)若f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1＋，则f(x) ＝ ．
（2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)=0，则f(x)＜0的x的取值范围是 ．
【答案】（1）；（2）(－2，2).
2.已知函数，若当时恒有,则函数
的递减区间是 .
2、
【答案】.
3．（1）若函数y＝log2(x＋2)的图象与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)= ．
（2）已知f(x)＝log2|ax＋3|关于x＝1对称，则实数a＝ ．
【答案】（1）log2(4－x)；（2）－3或0．
4.已知函数，若且，则的取值范围是 .
【答案】.
三、 典型例题
例1已知函数（其中是实数常数，）
（1） 若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；
（2） 若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；
（3） 若，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范
3、围。
【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；
然后等价转化.
【解答】(1)，．类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．又函数的图像的对称中心是， ，.
现证明如下：在函数，,而，所以，即也在上.所以函数图像关于（-1，3）对称.
(2)由(1)知，．依据题意，对任意，恒有．
若，则，符合题意．
若，当时，对任意，恒有，不符合题意．
所以，函数在上是单调递减函数，且满足．
因此，当且仅当，即时符合题意．
4、 [来源:学。科。网Z。X。X。K]
综上，所求实数的范围是．
(3)依据题设，有解得 于是，．
由，解得．
因此，．考察函数，可知该函数在是增函数，故．所以，所求负实数的取值范围是．
例2已知函数，且，．
（1）求、的值；
（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论.
【解答】（1）由，得， 解得：．
（2） 由（1），所以，令
5、
则
因为，所以，所以，当，所以，即的最小值是
，此时，，点的坐标是。
（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，
要使问题有意义，或．
法一：在或下，问题化为对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
①当时，或，
②当时，且对恒成立，
对于对恒成立，等价于，
令，，则，，，递增，
，，结合或，
对于对恒成立，等价于
令，，则，，，递减，
，，，
综上：。
法二：问题即为对恒成立，也就是对恒成立，
要使问题有意义，或．故问题转化为对恒成立，
令
①若时，由于，故，
在时单调递增，依题意，，舍去；
②若，由于，故，
考虑到，再分两种情形：
（ⅰ），
6、即，的最大值是，依题意，即，；
（ⅱ），即，在时单调递增，故，，，舍去。 综上可得，。
【反思】恰当地转化是解决本题的关键，另外本题也是含参问题，涉及到分类讨论思想的运用.
四、 课后练习 班级 姓名
1.函数的定义域是 .
【答案】
2.已知，若对，，，则实数的取值范围
是 .
【答案】.
3．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，(1)则f(7.5)＝ ；(2)当x
7、∈[4，6]时，f(x)＝ ．
【答案】（1）－；（2）
4.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
5.设,已知函数的定义域是,值域是,若关于的方程有唯一的实数解,则= ．
【答案】1.
6.已知函数，为实数．
(1) 当时，求函数的值域；
(2) 设是两个实数，满足，若函数的单调减区间为，且.
求的取值范围．
【分析】对进行换元，将问题化归为二次函数在给定区间的值域问题。第（2）题涉及到函数单调区间，重点考查学生分类讨论的能力。
【解答】设，为实数。
（1） a=1时，f(x)=，
当时，为增函数，y的取值范围是．
当时，，令，
则，y的取值范围是．
又，所以当时，函数的值域为．
（2） 令，则
①a =0时，无单调减区间，故a=0不成立；
②时，，在上单调递减，则在上单调递减，故不成立；
③时，，仅当时，即时，在时，是减函数，即时，是减函数．
所以，即，所以．
综上得，的取值范围为．
【反思】本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度.
4
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
