土方量计算方法及算例.doc

土方量的计算方法及算例

姓名：冯鹏波
班级：装备0802
学号：200806080923

摘要:
土方量的计算在工程测量中经常遇见，如道路设计，土地平整，矿场开采等，都需要精确地计算出其土方量。土方量计算是这些工程设计的一个重要组成部分，直接关系到工程造价，但它的精度如何，误差有大却很难直接检核出来。本文列述一些常见的计算方法和一些算例。
土方量的计算是建筑工程施工的一个重要步骤。工程施工前的设计阶段必须对土石方量进行预算,它直接关系到工程的费用概算及方案选优。在现实中的一些工程项目中，因土方量计算的精确性而产生的纠纷也是经常遇到的。如何利用测量单位现场测出的地形数据或原有的数字地形数据快速准确的计算出土方量就成了人们日益关心的问题。比较经常的几种计算土方量的方法有：方格网法、等高线法、断面法、DTM法、区域土方量平衡法和平均高程法等。
关键字: 土方量的计算 方格网法 断面法 DTM法

目录
第一章 土方外业测量方法及精度比较.......................................... 4
11 水准仪法........................................................... 4
1.2 经纬仪法........................................................... 4
1.3 全站仪法........................................................... 5
第二章 土方量计算方法...................................................... 6
2.1 断面法......... 6
2.2 方格网法.......................................................... 6
2.3 DTM法（不规则三角网法）............................................ 10
第三章 土方量计算算例及方法比较........................................... 14
3.1 实例计算........................... 14
3.2 比较分析.......................................................... 17
第四章 全文总结............................................................ 20
参考文献.................................................................... 21

第一章 土方外业测量方法及精度比较

在土地平整中通常需要确定地面高程、施工范围和计算土方量等，以便控制施工进度。土地平整测量外业常采用水准仪、经纬仪和全站仪的测量仪器，内业计算有方格网法、断面法、等高线法、DTM法等方法。采用不同的测量计算方法会有不同的结果，可见选择合适的测量计算方法有利于提高平整结果，提高精度和速度，甚至可以减少纠纷。
土方量的误差主要是在外业中产生，即主要是由高程测量中误差mh和面积测量中误差ms造成。在相同观测条件下，4个方格顶点高程测量精度是相同的，则平均高程测量中误差mh按如下计算：
（1-1）
此外方格面积测量的中误差（mS）主要是由距离误差（mD）造成，因此按如下公式计算：
（1-2）
根据误差传播定律，土方量的中误差（mv）按如下公式计算：
（1-3）

1.1水准仪法
用5m塔尺将现场划分成若干个边长是五米的正方形方格，用水准仪测量每个方格定点的高程，按照40m的设计高程用方格法计算土方量。
S3级微顷水准仪毎站水准测量高差（或高程）的精度为±2.4mm。另外，水准仪测量的距离通常用皮尺丈量，其精度为±100mm，因此计算出土方量中误差为±10.0m³，相对中误差为1/25。
1.2经纬仪法
用经纬仪按照地形测量（比例尺为1:500）的要求，将现场测绘成地形图，在地形图上用方格法（边长为5m）手工计算土方量。
J6经纬仪测量的视距精度约为1/500，距离中误差为±200mm，测量单点高程的精度为±60mm³。经纬仪采集点位数据展绘在图纸上画上方格网，根据碎步点高程通过目估内插法确定方格顶点的高程。方格顶点的高程精度取决于碎步点的高程，也与测量员的站尺位置、数量、环境条件有关，其主要误差包括地形点高程测量误差、地面概括误差和平面位移误差。经纬仪测绘1：500 比例尺地形图后，对于坡度为15º的坡地，地面概括误差为±0.23m,平面位移误差为±0.17m。由误差传播定律得出地形图上方格顶点高程中误差为±0.29m。因此用土方量的中误差计算公式，可得出经纬仪测量计算土方量的中误差为±20.0m³，相对中误差约为1/12。
1.3全站仪法
用全站仪代替经纬仪测量地形，生成数字化地形图上用方格法（边长为5m）由计算机利用Cass软件计算土方量。
全站仪计算土方的精度也是由距离误差和高差误差决定的。研究结果表明，全站仪采样位置的平面点位中误差为±0.02m。方格顶点的高程中误差是DTM插求点的高程中误差。一般认为影响DEM精度的主要因素有地形类别、内插方法、采样方式和粗差剔除程度等。通过实验，方格顶点的高程中误差为0.35m左右。因此按照土方量的中误差计算公式求得全站仪计算土方量的中误差为±4.8m³，相对中误差约为1/52。说明全站仪法在3种仪器测量方法中计算精度最高。
以S=100m、D=5m、h=10m、S=25m2的土方面积为例，水准仪法、经纬仪法和全站仪法测量土方量的计算精度土方量测量精度比较； 水准仪和经纬仪采集的数据，应用方格法通过手工计算土方量；将全站仪采集的数据传到计算机上，然后用Cass6.1软件生成数字化地形图，用方格法计算土方量。3种仪器测量土方量的结果见表1。
表1 不同测量方法测量土方量的结果
测量仪器
挖方量（m³）
误差（m³）
填方量（m³）
水准仪
10499.2
+56.3
260.5
经纬仪
10393.1
-49.8
321.6
全站仪
10436.4
-6.5
91.7
注：挖方量的真值为10442.9m³
从表1可知，以挖方量为例，在面积和设计高程相同的情况下，以3种测量结果的平均值作为最或是值（真值），为10442.9m³，挖方量的拟真误差表现为：全站仪＜经纬仪＜水准仪。说明全站仪测量土方的精度最高。

第二章 土方量的计算方法

2.1断面法
当地形复杂起伏变化较大，或地狭长、挖填深度较大且不规则的地段，宜选择横断面法进行土方量计算。 
图2-1 断面法计算土方量量

上图为一渠道的测量图形，利用横断面法进行计算土方量时，可根据渠LL，按一定的长度L设横断面A1、A2、A3……Ai等。
断面法的表达式为 
(2-1)
在（2-1）式中，Ai-1，Ai分别为第i单元渠段起终断面的填(或挖)方面积；L i为渠段长；Vi为填(或挖)方体积。
土石方量精度与间距L的长度有关，L越小，精度就越高。但是这种方法计算量大, 尤其是在范围较大、精度要求高的情况下更为明显;若是为了减少计算量而加大断面间隔，就会降低计算结果的精度; 所以断面法存在着计算精度和计算速度的矛盾。

2.2方格网法
对于大面积的土石方估算以及一些地形起伏较小、坡度变化平缓的场地适宜用格网法。这种方法是将场地划分成若干个正方形格网，然后计算每个四棱柱的体积，从而将所有四棱柱的体积汇总得到总的土方量。
2.1.1方格网计算步骤及方法
⑴ 划方格网 根据地形图划分方格网，尽量使其与测量或施工坐标网重合，方格一般采用20m×20m~40m×40m，将相应设计标高和自然地面标高分别标注在方格点的右上角和右下角，求出各点的施工高度(挖或填)，填在方格网左上角，挖方为(+)，填方为(-)。
⑵ 计算零点位置 计算确定方格网中两端角点施工高度符号不同的方格边上零点位置，标于方格网上，联接零点，即得填方与挖方区的分界线。零点的位置按下式计算

图2-2零点位置图
; （2-2）
式中 x1、x2——角点至零点的距离 m；
h1、h2——相邻两角点的高程 m，均用绝对值；
a ——方格网的边长m。
⑶ 计算土方工程量 按方格网底面图形和下表体积计算公式，计算每个方格内的挖方或填方量。
由于零线通过方格的部位不同，可将方格划分为一点填方（挖方）、二点填方（挖方）、三点填方（挖方）、四点填方（挖方）四种类型。
① 一点填方或挖方(三角形)

图2-3一点填方或（挖方）
当 时， （2-3）
②二点填方或挖方 (梯形)

图2-4二点填方或（挖方）
（2-4 ）
（2-5）
③三点填方或挖方 (五角形)

图2-5三点填方或（挖方）
（2-6）

④四点填方或挖方 (正方形)

图2-6四点填方或（挖方）
（2-7）
⑷ 汇总 分别将挖方区和填方区所有方格计算土方量汇总，即得该建筑场地挖方区和填方区的总土方量。
在传统的方格网计算中，土方量的计算精度不高。现在我们引入一种新的高程内插的方法，即杨赤中滤波推估法。
2.1.2杨赤中推估
杨赤中滤波与推估法就是在复合变量理论的基础上，对已知离散点数据进行二项式加权游动平均，然后在滤波的基础上，建立随即特征函数和估值协方差函数，对待估点的属性值（如高程等）进行推估。
2.1.3待估点高程值的计算
首先绘方格网, 然后根据一定范围内的各高程观测值推估方格中心O的高程值H0。绘制方格时要根据场地范围绘制。
由离散高程点计算待估点高程为
  （2-8）
其中，H1，H2……Hi为参加估值计算的各离散点高程观测值，Pi为各点估值系数。而后进一步求得最优估值系数，进而得到最优的高程估值。
2.1.4挖（填）土方量区域面积的计算
如果土方量计算的面积为不规则边界的多边形。那么在面积进行计算时，先对判断方格网中心点是否在多边形内，如果在，那么就要计算该格网的面积，否则可以将该格网面积略去。
图2-7 点与多边形位置的判断

如图2-7所示，首先对格网中心点P进行判断，可以采用垂线法，即过P（x0，y0）点作平行于y轴向下的射线 
①
设多边形任意一边的端点为i（xi，yi），i+1（xi+1，yi+1），令
②
(1)当δ<0时，若y>ys，则射线与该边有交点,否则无交点,若y=ys，则知P在多边形上。
(2)当δ=0时，若x=xi，则当y>yi时，二者有交点(xi，yi )当y0时，不予考虑。
对多边形各边进行上述判断，并统计其交点个数m，当m为奇数时，则P在多边形内部，否则P不在多边形内部。
通过对图中P1、P2点的判断可以知道，P1位于多边形内，P2位于多边形外。那么，P1所在的格网的面积要进行计算，而P2所在的格网的面积则可以略去。
然后利用杨赤中滤波推估法求得的每个方格网的中心点的高程值与格网面积进行计算。
即  （2-9）
ij表示第i行j列的小方格网，a，b为格网的边长，最后汇总土方量。

          表2　杨赤中法与其它方法内插精度比较
方法
倾斜面
马鞍型面
MH
ΔHMax
MH
ΔHMax
杨赤中法
0.92
2.60
1.60
3.80
最小二乘配置法
1.10
3.52
2.11
4.84
克里金法
1.90
4.67
无解
无解

2.3、DTM法（不规则三角网法）
不规则三角网(TIN)是数字地面模型DTM表现形式之一，该法利用实测地形碎部点、特征点进行三角构网，对计算区域按三棱柱法计算土方。
基于不规则三角形建模是直接利用野外实测的地形特征点(离散点)构造出邻接的三角形，组成不规则三角网结构。相对于规则格网，不规则三角网具有以下优点： 三角网中的点和线的分布密度和结构完全可以与地表的特征相协调，直接利用原始资料作为网格结点;不改变原始数据和精度;能够插入地性线以保存原有关键的地形特征,以及能很好地适应复杂、不规则地形，从而将地表的特征表现得淋漓尽致等。因此在利用 T1N 算出的土方量时就大大提高了计算的精度。
2.3.1三角网的构建
对于不规则三角网的构建在这里采用两级建网方式。
第一步，进行包括地形特征点在内的散点的初级构网。
  一般来说，传统的TIN生成算法主要有边扩展法,点插入法,递归分割法等,以及它们的改进算法。
在此仅简单介绍一下边扩展法。
所谓边扩展法，就是指先从点集中选择一点作为起始三角形的一个端点，然后找离它距离最近的点连成一个边,以该边为基础,遵循角度最大原则或距离最小原则找到第三个点,形成初始三角形。由起始三角形的三边依次往外扩展, 并进行是否重复的检测，最后将点集内所有的离散点构成三角网，直到所有建立的三角形的边都扩展过为止。在生成三角网后调用局部优化算法,使之最优。
2.3.2 三角网的调整
第二步，根据地形特征信息对初级三角网进行网形调整。这样可使得建模流程思路清晰，易于实现。
⑴ 地性线的特点及处理方法
所谓地性线就是指能充分表达地形形状的特征线地性线不应该通过TIN中的任何一个三角形的内部,否则三角形就会“进入”或“悬空”于地面,与实际地形不符,产生的数字地面模型(DTM)有错。
当地性线与一般地形点一道参加完初级构网后，再用地形特征信息检查地性线是否成为了初级三角网的边，若是，则不再作调整；否则，按图2-9作出调整。总之要务必保证TIN所表达的数字地面模型与实际地形相符。

图2-8 在TIN建模过程中对地性线的处理
如图2-8（a）所示，为地性线，它直接插入了三角形内部，使得建立的TIN偏离了实际地形，因此需要对地性线进行处理，重新调整三角网。
图2-8（b）是处理后的图形，即以地性线为三角边，向两侧进行扩展，使其符合实际地形。
⑵ 地物对构网的影响及处理方法
等高线在遭遇房屋、道路等地物时需要断开，这样在地形图生成TIN时，除了要考虑地性线的影响之外，更应该顾及到地物的影响。一般方法是：先按处理地形结构线的类似方法调整网形；然后，用“垂线法”判别闭合特征线影响区域内的三角形重心是否落在多边形内，若是，则消去该三角形(在程序中标记该三角形记录)；否则保留该三角形。经测试后，去掉了所有位于地物内部之三角形，从而在特征线内形成“空白地”。
⑶ 陡坎的地形特点及处理方法
遭遇陡坎时，地形会发生剧烈的突变。陡坎处的地形特征表现为：在水平面上同一位置的点有两个高程且高差比较大；坎上坎下两个相邻三角形共享由两相邻陡坎点连接而成的边。当构造TIN时，只有顾及陡坎地形的影响，才能较准确的反映出实际地形。 对陡坎的处理如图所示：

图2-9 对陡坎的处理
如图2-9（a）所示，点1～4为实际测量的陡坎上的点，每个点其实有两个高程值，不符合实际的地形特征。在调整时将各点沿坎下方向平移了1mm，得到了5～8各点，其高程值根据地形图量取的坎下比高计算得到。将所有的坎上、坎下点合并连接成一闭合折线，并分别扩充连接三角形，即得到调整后的图2-9（b）。
2.3.3 三角网法计算土方量
    三角网构建好之后，用生成的三角网来计算每个三棱柱的填挖方量,最后累积得到指定范围内填方和挖方分界线。三棱柱体上表面用斜平面拟合，下表面均为水平面或参考面，计算公式为：
（2-10）
如图2-10所示，Z1、Z2、Z3为三角形角点填挖高差；S3为三棱柱底面积。

图2-10三角网计算土方量
第三章 土方量计算算例及方法比较

下面我们分别用方格网法、DTM法、断面法计算实例来比较分析各自的特点。
3.1 实例计算
(1)方格网法计算算例
【例】 某建筑场地地形图和方格网（边长a=20.0m）布置如图2-11所示。土壤为二类土，场地地面泄水坡度ix=0.3%，iy=0.2%。试确定场地设计标高（不考虑土的可松性影响，余土加宽边坡），计算各方格挖、填土方工程量。

图2-11 场地地形图和方格网布置、计算土方工程量图
解：(1) 计算场地设计标高

(2) 根据泄水坡度计算各方格角点的设计标高
以场地中心点(几何中心o)为，由式得各角点设计标高为： 

其余各角点设计标高均可求出，详见上图。
(3) 计算各角点的施工高度得各角点的施工高度(以“+”为填方，“-”为挖方)：    

各角点施工高度见上图
   (4) 确定“零线”，即挖、填方的分界线
  确定零点的位置，将相邻边线上的零点相连，即为“零线”。如1-5线上：
，即零点距角点1的距离为0.67m。
   (5) 计算各方格土方工程量(以“+”为填方，“-”为挖方)
① 全填或全挖方格：           
(+) (+)
(+)
(+)
② 三填一挖或三挖一填方格：

将计算出的各方格土方工程量按挖、填方分别相加，得场地土方工程量总计挖方： 503.92 m3填方：504.26 m³
挖方、填方基本平衡。
（2）DTM法计算算例
【例】 某建筑场地可用生成的三角网法计算土方量，计算三棱柱体积，三棱柱体上表面用斜平面拟合，下表面均为参考面，如图2-10所示，三角形角点填挖高差分别为Z1=60.08m、Z2=64.56m、Z3=71.42m；三棱柱底面积为S3=245m2；试用DTM法计算其土方量。
解：根据题意要求可用公式（2-10）计算

根据生成的三角网来计算土方量时，用三棱柱体积计算，很容易计算得出其土方量为16011.57m3。
（3）断面法计算算例
【例】 某地形复杂起伏变化较大，图2-1所示为一渠道的测量图形，横断面A1=200.45m2、A2=225.13m2、A3=216.03m2，两相邻截面积间距离为L=10m，选择断面法进行计算长为20米的场地土方量。
解：根据题意要求可用公式（2-1）分别计算每一段的土方量，然后再汇总，即

根据上述方法很快可以算出要求距离段内的土方量，然后汇总，得出土方量为4333.7m3。
3.2　比较分析
由以上的算例计算易知,断面法只需要知道两端横断面的面积,因而计算很简单。但如果施工场地范围很大,那么求面积工作量将会非常大,而且容易出错,同时大量的数据容易在计算时带来较大的误差,特别是地形较复杂时,算出的面积值误差会很大。所以断面法一般只适用于山地及高差变化比较大、自然地面较复杂的地段或地形狭长的地带,在道路、管道等狭长带状地形应用甚广。为提高土方计算精度和减少工作量可采取以下措施。
(1)测定数字地形图时,提高采集密度,可提高横断面的精度。但如果横断面为实测,则只要测量横段面上的地形变化点,没有必要一味强调取点密度。增加测量点的个数,必然增加工作量。浪费时间和劳动力。
(2)在测量精度确定后,横段面间距D 的设置要充分考虑横段面的大小和形状,即要考虑横段面的周长面积比。周长面积比大,则横段面间距D 可适当小,周长面积比小,则横段面间距D 可适当大一些。
(3)对于大面积长距离的线路工程,应根据地形状况(如起伏、宽窄、弯曲等)分成几大段,分别计算土方量,再求总和。
(4)土石方计算精度确定后,测量精度和方法必须结合实际横段面的结构形状来制定,精度以需要为标准,不宜过高或过低
(5)不过随着计算机技术的发展,可利用开发出的测绘成图软件结合AutoCAD软件平台,帮助计算土方量,大大提高了计算速度、质量和精度。
方格网法一般是利用现成的绘有等高线的地形图布置方格网,各方格顶点的高程根据等高线确定,而地形图上的等高线是由一系列等高程的点的连线而成的,所以等高线不能详细地反映地形,求出的各方格顶点的高程必然存在误差,而且,使用本方法总是假设两点之间的坡度是均匀的,显然这是一个为了计算而做的假设,实际情况并非如此。所以本方法一般适用于地形起伏不大,且地面坡度有规律,范围比较大的施工场地,也适合平坦地区及高差不太大的地形场地平整时使用。实际上,对于中、小型建设项目、旧城区改造以及地貌复杂的情况,用上面所述方格网法计算土方量,误差较大。加之实际建设项目用地的范围,并不刚好是方格网边长的整倍数; 地性线也不可能刚好是方格网的边,非完整方格的土方工程量计算没有明确规则要求。这样在实际工程施工中土方工程量必定与概(预)算的土方工程数量相差较大。
如果直接采取手工或机械的方法利用地形原图来计算起伏较大的山区地形的土方量,或用户将白纸图扫描矢量化后可以得到数字化图形,利用数字测图软件的工程量计算功能计算土方量,一般这样的图都没有高程数据文件,所以无法用前面的几种方法计算土方量。但这些图上都绘有等高线,所以,可利用等高线计算土方量。由于两条等高线所围面积可求,两条等高线之间的高差已知,可求出这两条等高线之间的土方量。但所选等高线必须闭合。
以上三种方法,都和面积计算有关,并且都是高斯投影平面内的面积,由于面积投影时会产生变形,且变形值与高斯投影中央子午线和投影面的选择有关,它们的关系可用下面两个公式来表示。
投影面的面积变形为:
(3-1)
投影带的面积变形为:
(3-2)
式中: H为投影面高程; R 为地球半径; S1 为投影面面积; S2 为高斯平面面积; y 为计算区的横坐标平均值。
所以,在大范围的或在边缘子午线附近测区计算土方量时,必须考虑面积变形的影响,使得计算工作量变得很大。这时用这三种方法计算就很不方便。但用基于DTM的方法是比较好的,这一方法不但可以提高土方的计算精度,而且可以实现计算的自动化。
理论上说,基于DTM的土方量计算法适用于任何情形, DTM的精度是影响土方量计算准确与否的主要因素。为了讨论基于DTM的土方量计算法的精度,必须从DTM的产生和建立来分析其精度。
DTM的实际精度主要由原始数据的采集误差和高程内插误差两方面决定。数据采集误差来自原始资料的误差、采点设备误差、人为误差、坐标转换误差。这种误差可以采取一些措施尽量减小它,使之达到误差允许的范围内。这些措施有:用仿射变换消除图纸变形引起的误差;采用高精度的数字化仪、扫描仪;将数字地图回放成纸张地图与出版地图进行比较等。高程内插的误差一方面和选用的数学方法有关,另一方面和采点的方式有关。这是一种性质不同的处理,因为提取的信息在很大程度上受采样区间和所用插值方法的影响。所以,数字高程模型(DTM)精度对土方计算具有重大意义。
基于DTM的土方计算法克服了前面三种方法作业人员计算量大,工作繁重,计算精度不高,容易出错等缺点,实现了土方量计算的计算机自动化。目前市面上流行的GIS主流软件都可以生产不同地形类型的DTM 产品,且精度都符合国家标准规定的精度要求,但不同的软件对不同的地形类型在精度上存在一定的差异 。所以在计算土方量时,必须根据具体要求,选择合适的DTM产品。

第四章 全文总结

由于地形的复杂性，在外业测量数据相同的情况下，计算结果的精度取决于内业建模方法。DTM法和等高线法采用三角网进行建模，提取的地面高程精度高。等高线法虽然也是三角网建模，但是必须是坡度均与的地方，其等高线必须闭合，否则难以计算。DTM法则可在任意场地上计算，精度容易保证。DTM法能够计算出设计面是水平面、倾斜面和不规则面等的土方量，因此，该方法在确定任意俩个不规则地面之间的土方量及控制施工进度方面的作用非常大。
断面法和方格法都是类似人工模拟地面的方法，两个高程碎步点之间的坡度被看作均匀坡度，其高程的提取不准确，特别是方格边长较长时，精度较低。相对来说，断面法由于提取断面坡度线比方格法确定高程的精度高，所以其计算土方量的精度也比方格法高。
从理论上分析可知，在小面积土方测量（距离小于100m）中，水准仪测量地面高程和土方量的精度都比光学经纬仪高，但由于定线、量距地误差较大，计算土方量的精度就不如全站仪，因而适合于平坦的地形测量。用经纬仪代替水准仪测量，可以提高测量的速度，适合于精度要求不高的丘陵地区的土方测量。全站仪在外业测量地面高程的精度虽不如水准仪，但优于经纬仪。全站仪测量的土方量精度比水准仪和经纬仪都高，分别是水准仪的2倍和经纬仪都高，分别是水准仪的2倍和经纬仪的4倍。随着高精度全站仪的普及，土方测量精度也相应提高。
结果表明，用全站仪采集数据、DTM法计算土方量，既能提高精度又可以提高速度，适合于任何场地使用，是目前土方量测量精度最高、测量速度最快的一种方法。方格法、等高线法、断面法和DTM法计算土方量的方法各有特色，应跟据具体情况选择运用。
通过对以上几种土方量计算方法的介绍，我们可以看到一下几点：:
⑴ 在较为平坦的平原区和地形起伏不大的场地，宜采用方格网法。这种方法计算的数据量小，计算速度快，省却了DTM法庞大的数据存储量。
⑵ 在狭长地带，比如公路、水渠等则适宜使用断面法进行计算土方量。   
⑶ 在地形起伏较大、精度要求高的一些山区则需要用到TIN的计算方法。但是也要考虑到，如果地图本身数据量大，数据储存量的问题。
   总之，在对土方量进行计算时，要考虑到地形特征、精度要求以及施工成本等方面的情况，选择合适的计算方法，达到最优的目的。

参考文献
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