2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(四川版).doc

2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题

参考解答

一、选择题

1．D.

2．C.

3．A 延长 FD 至点 G，使得 DG=BE.显然△ABE≌△ADG.

∴ AE=AG. 易证 △ FAG ≌ △ FAE. ∴ FG=FE. ∴ △ ECF 的周长

=CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）

=CD+BC=2.选 A.

4．B

当 z=0
ì y = 0,
ì y = 1,
ì y = 2,
ì y = 3,
ì y = 4,

或
时， í
或 í
或 í
或 í
或 í

îx = 10,
îx = 8,
îx = 6,
îx = 4,
îx = 2,

ì y = 5,

í

îx = 0;

当 z=1
ì y = 0,
ì y = 1,
ìy = 2,

时， í
或 í
或 í

îx = 5,
îx = 3,
îx = 1;

当 z=2
ì y = 0,

时， í

îx = 0.

共计 10 组自然数解.选 B.

5．D 作高 AD.显然 AD= 2 .在 Rt△ABD 中，BD= AB2 - AD2 = 2 .显然∠B≠90°.当∠B

为锐角时，如图（1），CD=BC-BD= 2 .∴AC= AD2 + CD 2 = 2 ；当∠B 为钝角时，如图（2），

CD=BC+BD= 32 ，∴AC= AD2 + CD 2 = 25 .综上 AC=2 或 25 .选 D.

6．C ∵32 除以 7 余 2，∴36 除以 7 与 23 除以 7 余数相同，为 1.而 32015=(36)335·35，∴32015

除以 7 与 35 除以 7 余数相同，为 5. ∴32015 天之后为星期三.选 C.

二、填空题

7． -22 .

8．2014．x =

2

2
2 0 1 5-
1\,x +
1=
2 0 1\5x ,
=1 )
+(
\2x 0+125x,= 2014 .

9．8． 作 DE∥CA 交 BA 的延长线于点 E.由于 AC⊥BD，则 DE⊥BD,而四边形 CDEA 是平 行四边形，则 AC=DE,CD=AE.在 Rt△BDE 中，BD2+DE2=BE2=（AE+AB）2=（AB+CD）2，即

AC2+BD2=（AB+DC）2, ∴62+BD2=102. ∴BD=8.

10. 12.
ì
3 x - a £ 0,
即是
b
£ x £
a
. 因为原不等式组的整数解仅为 1 ， 2 ， 3, 所以

í
4 x - b ³ 0

4
3

î

3 £
a
<
4 , 0<
b
£ 即1, 9 £ a <12, 0 < b £ 4 .所以 a 可以取 9,10,11 共 3 个数， b 可以取 1,2,3,4 共 4

3

4

个数. 所以适合原不等式组的整数 a , b 组成的有序数对 (a , b) 的个数为 3 ´4 =12 个.

三、解答题

11．解：∵a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，……………………………………..………………… 5 分

∴ (a+b)2-6(a+b)+9=0. ……………………………………………………… …10 分

∴ (a+b-3)2=0. …………………………………………………………………..15 分

∴ a+b-3=0………………. ……………………………………………………..20 分

∴ a+b=3. ………………………………………………………………………..25 分

四、解答题

2016
12．解： 当 x 是方程的一个正数解时，有 2015x=ax+2016,得 x= 2015 - a ,………..…..5 分

∴a<2015. ………………………………………………………………….… …10 分

当 x 是方程的一个负数解时，有-2015x=ax+2016,得 x=
- 2016
，…..……15 分
a + 2015

∴a>-2015. ………………………………………………………………….…..20 分

而原方程有一个正数解，但没有负数解，∴a<2015 成立，但 a>-2015 不成立.

∴a≤-2015. …………………………………………………………………….25 分

五、解答题

13．解：（1）AE=CD，且 AE⊥CD.理由如下：…………..………..………….…………5 分

连结 QM、CD、AE，延长 AE 交 CD 于点 N.

易证 Rt△ABE≌Rt△CBD. ………………………………………………………….…….10 分

∴AE=CD, ∠EAB=∠DCB.

∴∠EAB+∠CDB=∠DCB+∠CDB=90°.

∴AN⊥CD，即 AE⊥CD. ……………………………………………….…………… .….15 分

(2)∵AP=PC，AQ=QD，∴PQ∥ CD 且 PQ= 12 CD .

∵AP=PC,CM=ME, ∴PM∥ AE 且 PM= 12 AE .………………………………….……….20 分

∴PQ=PM, PQ⊥PM.

∴△MPQ 为等腰直角三角形.

∴PM=PQ=2.5. .…………………………………………………………………………….25 分