命题、定理、证明2.doc

5.3.2命题、定理、证明（第二课时）
一．内容和内容解析
1.内容
定理和证明
2.内容解析
七年级数学思维的培养正处在从“说点理”、“说理”到“推理”的循序渐进的过渡过程中，尤其以培养学生几何语言地说理性为主，逐渐的养成有理有据的推理习惯，实现“实验几何”向“论证几何”的过渡，为学生养成良好的数学思维习惯做好准备。本节介绍定理与证明的概念，是初中数学几何学习的重要概念。
本课在学习了平行线的判定与性质之后，又以命题、真假命题基础，正式的给出定理与证明的概念。通过命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于平行线中的一条，那么也垂直于另一条”为例，呈现一个完整的用符号语言表达的证明过程，让学生了解什么是证明。重在让学生理解证明的必要性和证明的过程要步步有据。结合假命题“相等的角是对顶角” 教会学生证明可以采用举反例的方法，有理有据的完善了证明的灵活性。
因此，本节课的重点是理解命题要步步有据。
二．目标和目标解析
1．目标
（1） 理解什么是定理和证明
（2） 知道如何判断一个命题的真假
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：学生理解定理和证明的概念，准确把握基本事实和经推理证实正确的命题为定理，成功举出定理的例子，并理解推理的命题正确性的过程就是证明。
达成目标（2）的标志是：在证明命题真假的过程中，学生准确自主的填写推理的依据，并理解推理的过程就是证明，并且步步有据。对于假命题的证明中，能举出反例。
三．教学问题诊断分析
定理和证明是学生进行几何学习时，几乎每日司空见惯的东西，第五章相交线与平行线的学习中，学生已经尝试了初步证明，但真正给出定理和证明的定义还是第一次。再加之概念的抽象，对于学生依然是难点，因此适时的结合实例进行讲解，便是解决之道。
因此本节的难点是定理与证明概念的理解。
四．教学过程设计
1.创设情境，引出新课。
问题1 （多媒体展示）判断下列命题是真命题还是假命题？
（1）两点确定一条直线．
（2）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（4）对顶角相等
（5）内错角相等，两直线平行。
师生活动：1、2、4、5为真命题，3为假命题。教师总结1、2这样的真命题属于基本事实，而4、5这两个真命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理．师生得出了概念，媒体展示图片，并说明定理和基本事实都可以作为继续推理的依据。
教师追问：你能说出我们学过的定理吗？
师生活动：学生们小组为单位收集讨论学过的定理。例如平行的判定定理、平行线的性质定理、同角的补角相等……。教师归纳：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明。
师生活动：（感知证明）
练习1.在下面的括号内，填上推理的依据.
已知如图，AB 和CD相交于点O，∠A=∠B.
求证：∠C=∠D.
证明：∵∠A=∠B（已知），
∴AC∥BD （ ）.
∴∠C=∠D （ ）.
答案：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
练习2．已知：如图6，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2.
求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴ = =90°（ ）.
∵∠1=∠2（已知），
∴ = （等式性质）.
∴BE∥CF（ ）.
答案：∠ABC、∠BCD、垂直的定义、∠EBC、∠BCF、内错角相等，两直线平行
设计意图：在真命题中给出定理的概念，让学生理解定理是基于真命题基础之上的，经过推理证实的。此处为明确定理，引出证明，并让学生明确其实证明也是在每日的学习中，潜移默化的接触过，只是没有正式接触证明一词的意义而已，此处两个证明意在让学生证明的格式。
2.协作探究，掌握新知。
问题2 判断下面两个命题是真命题还是假命题，并思考如何判断命题的真假？(多媒体展示)
命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
命题2：相等的角是对顶角．
师生活动：学生判断命题1为真命题，命题2为假命题。
教师追问：①你能将命题1所叙述的内容用图形语言来表达吗？
②这个命题的题设和结论分别是什么呢？
③你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
④请同学们思考如何利用已经学过的定理来证明这个结论呢？
师生活动：师生绘出图形，并用符号语言表述题设和结论，并证明这个命题，教师板书证明的过程，并说明这样的题型属于证明题，学生却从未得到证明的概念，也从未书写过真正意义上的几何证明题，师生共同分析理解题设和已知，结论与求证的关系，并进行推理验证，从而初步体会何为证明。学生初次接触，要带领学生分析由位置关系推理数量关系，再有数量关系得到位置关系，在此题教学中，学生在练习中学，使学生了解综合性证明几何命题的题型，对于证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的书写和思维方式，在教学中，注重培养学生的逻辑思维能力,为今后证明训练打下基础。 学生们选择另一种方法自行证明后，可在小组内进行分享。
方法一：（教师板书）
已知：b∥c，a⊥b
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1=90º （垂直的定义）．
又∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∴∠2=∠1=90º（等量代换）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
方法二：（学生证明）
已知：b∥c，a⊥b
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1=90º （垂直的定义）．
又∵ b∥c（已知），
∴∠1+∠2=180（两直线平行，同旁内角相等）
∴∠2=90º（等量代换）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
方法三：（学生证明）
已知：b∥c，a⊥b
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1=90º （垂直的定义）．
又∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∴∠2=∠1=90º（等量代换）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
学生们证明这个命题，教师归纳证明的每一步推理都应该有理有据，不能想当然，这些依据可以是已知条件、定义、基本事实或定理，以后再书写依据时，主要书写性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不写了，这样推理的全部过程就是证明。
设计意图：命题的概念很抽象，学生理解起来具有一定的难度，通过
一个具体命题的逐步推理，呈现一个完整的用符号语言表达的证明过程，让学生理解何为证明，并强调推理过程要步步有据，从而化解了难点突出了重点。
3.动手操作，深化理解。
问题3已知：如图2，AD∥BC，∠A=∠C
求证：AB∥CD。
师生活动： 1.要证明两直线平行，你考虑有几种方法？
2.那你打算怎样证明这一结论？
思路分析：证明两直线平行的方法，通常考虑用平行线判定公理和定理，而将要证明两直线平行问题，通常转化为证有等或者同旁内角互补问题。证明应从已知入手，结合图形，联想公理，定理，便可填写准确的依据，利用分析综合两头凑的方法引导学生逐渐会分析几何题，并能利用几何语言准确表达。证明两直线平行的方法，通常考虑用平行线判定公理和定理，而将要证明两直线平行问题，通常转化为证角等或者同旁内角互补问题。所以对本例，至少可找到两种以上思路。
方法一：
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠A=∠CBE（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠C=∠CBE（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
方法二：
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠A=∠CBE（两直线平行，同位角相等）
∵∠ABC＋∠CBE=180°（邻补角定义）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠ABC＋∠C=180°（等量代换）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
方法三：
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠A＋∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠C＋∠ABC=180°（等量代换）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
方法四：
证明：延长BC，DC（如图3）
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠1=∠C，∵∠2=∠C（等量代换）
∴∠A=∠C（已知），∴∠2=∠A（等量代换）
∵AD∥BC（已知）
∴∠A=∠3（两直线平行，同位角相等） ∴∠3=∠2（等量代换）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
设计意图：
几何证明题中教学中，要教给学生学习的方法，分析的方法，书写的法方法，认真审题，做到边清、角清、关系清，使用两头凑的分析方法，缩短了已知和求证的距离，降低了题目的难度，从而使得学生会学几何，会写几何，激发他们学习几何的兴趣，提高学习效率。
4．分析实验，辨析说理。
问题4命题2：相等的角是对顶角是假命题，如何证明？
教师分析：我们知道假命题是在题设成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系.判断一个命题是假命题只需举出一个反例，它符合命题的题设，却不满足结论就可以了。正如生活中如果两姐妹长得很像，那么他们一定是双胞胎。这句话对吗,不对,请举出反例.那命题2的题设和结论是什么？我们能否用符号语言表述出来？
师生活动：教师引导学生逐渐分解命题2的题设和结论，并用符号语言表达，学生回答命题2的题设：两个角相等，结论：它们互为对顶角。
方法一：OC为∠AOB的角平分线，∠1=∠2，
但是∠1和∠2就不是对顶角。
方法二和三： a∥b，∠1=∠2，
∠1与∠2也不是对顶角
练习：1命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
设计意图：举反例是判断一个命题是假命题常用方法，在本节课这种方法学生第一次接触，要让学生明白这种方法在生活中很常见，要灵活的应用与几何证明中来，增加了几何证明的灵活性。对于假命题我们只要举出一个反例就可以说明假命题是错误的。
5.归纳小结，形成系统。
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生一起回答：
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理。
（2）证明：命题的正确性需要进过推理，推理的过程叫做证明。
注意：证明过程中每一步推理要步步有据。
（3）本节处于第五章《相交线与平行线》中，继平行线的判定、性质之后，引入命题，从而在证明题中得到定理，开始了证明为我们后续的初中几何证明题，打开了研究的天地。
设计意图：通过小结，梳理本节课内容，掌握本节课的核心内容——定理和证明的概念，明确命题的推理要步步有据。
6.布置作业、巩固所学。
教科书P23页6、12、13
五．目标检测设计
1.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,求证∠ B+ ∠D=1800
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( )
∵ CB ∥ DE
∴ ∠ C+ ∠ D=1800( )
∴ ∠ B+ ∠ D=1800( )
答案：
两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；等量代换。
设计意图：考查学生对于证明过程有理有据的理解。
2．判断命题“同旁内角互补”是真命题还是假命题，如果是假命题请举出反例。
答案：原命题是假命题；
反例：
如图，∠1与∠2是同旁内角，
∠1+∠2<1800，它们不互补.
设计意图：考察学生用举反例的方法说明假命题。
六、教学反思
本课的教学过程中，学生们对于命题、定理、证明的定义和方法，都有了明确的了解，并掌握了简单几何语言的因果表达方法，但对于具体题目的分析及几何语言的灵活应用，还要经过长期的训练，才能获得经验，学生从说点理开始，逐渐进入说理，乃至逻辑推理，是一个循序渐进的过程，在日后的教学中，将更加注意几何语言的训练，从而将命题、定理、证明落到实处。