一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的对称性.pdf

2023 年 6 月第 39 卷 第 2 期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsJun.2023Vol.39 No.2一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的对称性张宇健,沃维丰(宁波大学数学与统计学院,浙江 宁波315211)摘要：对一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的存在性进行了研究.采用直接移动平面法,先通过计算得到分数阶椭圆型微分方程组解的估计,推得该方程组的无穷远处衰减原理和窄区域原理,接着分三步进行证明,找到直接移动平面法所需的起点后向无穷远处移动超平面,利用反证法最终得到解的径向对称性.关键词：完全非线性非局部算子;无穷远处衰减;窄区域原理;直接移动平面法;解的对称性中图分类号：O175.25文献标识码：A文章编号：1008-5513(2023)02-0186-13DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2023.02.0021 引引引言言言本文主要研究了一类分数阶椭圆型偏微分方程组F(u(x)=f(u,v),x Rn,F(v(x)=g(u,v),x Rn,u(x)0,v(x)0,x Rn,(1)其中完全非线性非局部算子的定义为F(u(x)=Cn,lim0RnB(x)G(u(x)u(y)|x y|n+dy=Cn,P.V.RnG(u(x)u(y)|x y|n+dy.(2)收稿日期：2022-03-11.接收日期：2022-11-18.基金项目：国家自然科学基金(11971251);浙江省自然科学基金(LY20A010011).作者简介：张宇健(1998-),硕士生,研究方向：偏微分方程.通讯作者：沃维丰(1981-),博士,副教授,研究方向：偏微分方程.第 2 期张宇健 等:一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的对称性187这里 P.V.代表柯西主值,这类算子由 Caffarelli 和 Silvestre1引入.为了使积分有意义,要求(u,v)(L C1,1loc(Rn)2,其中L=u:Rn R|Rn|u(x)|1+|x|n+dx,(3)G 要求至少是 Lipschitz 连续的,且 G C1(R),满足G(0)=0,G(t)c0 0,t R.近年来,分数阶拉普拉斯微分方程的研究受到广泛关注,Caffarelli 和 Silvestre1-2引进了延拓法以解决拉普拉斯算子的非局部问题,取得了一系列成果3-4.之后 Serrin,Gidas,倪维明,L.Nirenberg 等人5多次应用移动平面法研究分数阶拉普拉斯微分方程解的存在性和对称性,另一种积分型移动平面法则是利用移动平面(球面)法的积分形式6-11来处理积分方程.陈文雄等人12提出一种直接移动平面法可以直接研究分数阶拉普拉斯方程解的性质,证明了在 p=n+n临界情况下,其解都是径向对称的,该方法广泛应用于其他拉普拉斯问题13-14.之后卓然,陈文雄15进一步研究了分数阶拉普拉斯非线性方程组,积分型移动平面法将 的取值扩展到了(0,2),且将全局有界条件减弱到了局部有界,结合该积分型方程组与微分方程组的解的等价性,得到了在 p=n+n临界情况下正解的径向对称性.2016 年,刘白羽在文献 16 中考虑了分数阶拉普拉斯方程组()2u(x)=f(u,v),x Rn,()2v(x)=g(u,v),x Rn,u(x)0,v(x)0,x Rn.(4)相比于卓然,陈文雄在文献 15 中所得的结果,刘白羽在文献 16 中考虑的方程组所假设非线性项的单调性更弱,且非线性项不必齐次,结论可应用于超临界情况.然而,无论是延拓法还是利用积分方程,通常都需要对解附加额外的条件,陈文雄等人在文献 17 中考虑的伪微分方程则不需要附加条件,其完全非线性分数阶微分方程如下F(u)=f(x,u),(5)其中F(u(x)=Cn,lim0RnB(x)G(u(x)u(y)|x y|n+dy.(6)188纯粹数学与应用数学第 39 卷本文在完全非线性非局部算子(2)现有成果的基础上研究了该分数阶椭圆型偏微分方程组(1),所考虑的右端项不必要求单调,推得对应的无穷远处衰减原理和窄区域原理,通过直接移动平面法得到方程组解的径向对称性.对于该偏微分方程组(1),无法使用以往的延拓法,也无法找到等价的积分方程,于是需要用不同的直接移动平面法并推出相应的无穷远处衰减原理和窄区域原理.本文的主要研究结论如下:定定定理理理1.1令(u,v)(L C1,1loc(Rn)2是方程组(1)的正解,f,g C1(0,+)0,+),R).设其满足条件:(i)u(x).1|x|a,v(x).1|x|b,|x|;(ii)fu.up1vq,gv.urvs1,(u,v)(0+,0+);(iii)fv.upvq1,gu.ur1vs,(u,v)(0+,0+);(iv)fu(u,v)0,gv(u,v)0,(u,v)R+R+,其中 a,b 0,p,q,r,s 1,.表示后者被前者控制.若 (0,2)满足条件(v)minap+bq a,ap+bq b,ar+bs a,ar+bs b,则存在 x0 Rn,使得 u(x)=u(|x x0|),v(x)=v(|x x0|).2 准准准备备备引引引理理理本节先给出证明所需的符号及其相关的定义.令 R,x=(x1,x),其中 x1可取任意方向,x=(x2,x3,xn)Rn1,定义:=x Rn|x1,T:=x Rn|x1=.对于每一点 x=(x1,x),令 x=(2 x1,x)为 x 关于超平面 T的对称点,定义对称函数 u(x)=u(x),v(x)=v(x),为了比较 u(x)和 u(x),令U(x)=u(x)u(x),V(x)=v(x)v(x).对于所有 u L C1,1loc(Rn),有F(u(x)=F(u(x),则当 x ,有F(u(x)F(u(x)=f(u(x),v(x)f(u(x),v(x)=fu(1(x,),v(x)U(x)+fv(u(x),1(x,)V(x),(7)第 2 期张宇健 等:一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的对称性189F(v(x)F(v(x)=gu(2(x,),v(x)U(x)+gv(u(x),2(x,)V(x),(8)其中 1(x,),2(x,)在 u(x)和 u(x)之间,1(x,),2(x,)在 v(x)和 v(x)之间.定义U:=x|U(x)0,V:=x|V(x)0,对所有 6 0,有(a)若存在 x,|x|R0,使 U(x)=minxU(x)0,则V(x)2U(x)R0,使 V(y)=minyV(y)0,则U(y)2V(y)0.证证证明明明首先设存在某一点 x 满足U(x)=minxU(x)0.对每个给定的 0,因为 x,存190纯粹数学与应用数学第 39 卷在 B|x|(x1)Rn,其中 x1=(3|x|+x1,(x),1|x y|n+dy=Rn1|x y|n+dyB|x|(x1)1|x y|n+dyB|x|(x1)14n+|x|n+dy=wn4n+|x|,(12)其中 wn是 Rn中单位球的面积.因此有b1(x,)Cwn4n+|x|fu(1(x,),v(x).(13)由条件(ii),取 0,使fu.up1vq,u+v 0.由条件(i),存在 R1 0,使得当|x|R1,有 0 u(x)1|x|a,0 v(x)1|x|b,u(x)+v(x).又因为 x U,0 u(x)1(x,)R1,有fu(1(x,),v(x)1(x,)p1v(x)q R1,使|x|R2,b1(x,)c|x|0.(15)因此结合(15)式和条件(iv),由(10)式推得V(x)b1(x,)fv(u(x),1(x,)U(x)2,即可证得(a)的结论.现利用条件(iii),存在 0,使fv.upvq1,u+v 0.因此可选取 R3 R2,使得对所有的|x|R3,有第 2 期张宇健 等:一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的对称性1910 u(x)1|x|a,0 v(x)1|x|b,u(x)+v(x).又 x UV,即0 u(x)1(x,)u(x),0 v(x)1(x,)v(x),则fv(u(x),1(x,)1(x,)q1u(x)p R3,有b1(x,)fv(u(x),1(x,)c|x|ap+qbb,|x|.(18)因此存在 R0 R3,对所有|x|R0,有b1(x,)fv(u(x),1(x,)2,(19)即证得(a)的结论.(b)的证明过程与(a)类似,故过程省略.引引引理理理2.2(窄区域原理)令(u,v)(L C1,1loc(Rn)2是问题(1)的正解,其中 f,g C1(0,+)0,+),R).假设满足条件(iv)和(i)lim|x|u(x)=0,lim|x|v(x)=0.则存在 l0 0,使得对任意的 l (0,l0,有(c)若存在 x,l:=x|l x1,使 U(x)=minxU(x)0,则V(x)2U(x)0;(d)若存在 y,l:=y|l y1,使 V(y)=minyV(y)0,则U(y)2V(y)0,存在 x,l,U(x)=minxU(x)0.通过(9)式和(10)式类似计算,可以得到F(u(x)F(u(x)C1|x y|n+dy U(x)0.令D=y|l y1 x1 1,|y(x)|0,使得?fu(1(x,),v(x)?0,使得对任意的 0 l 0,liml0+b1(x,)=+.(25)结合条件(iv)和(21)式,可推得对任意 0 l l1,有V(x)b1(x,)fv(u(x),1(x,)U(x)0,对任意 R,有0 fv(u(x),1(x,)2,(28)即证得(c).(d)的证明过程与(c)类似,故过程省略.3 定定定理理理 1.1 的的的证证证明明明本节将通过直接移动平面法证明定理(1.1),证明过程将分为以下三个步骤.第第第一一一步步步存在 0,使得对于任意 ,有U(x)0,V(x)0,x .(29)证证证明明明选取 R0(R0由定理 2.1 给定),下证对任意 ,有U(x)0,V(x)0,x .假设矛盾,即存在 和 x,使得 U(x)0.令 U(x)=minxU(x)0.因为 R0.利用引理 2.1,有V(x)2U(x)0.(30)由条件(i)可知lim|x|V(x)=0.而且当 x T时,V(x)=0.因此存在一点 y,使得 V(y)=minyV(y)R0,利用引理 2.1,有U(y)2V(y)0.(31)结合(30)式-(31)式,得V(x)2U(x)2U(y)4V(y)4V(x).(32)由 V(x),则对任意 x 0,有 U0(x)0,V0(x)0.接下来对 U0(x),V0(x)进行分析.推推推论论论3.1若 U0(x)0,则 V0(x)0.若 V0(x)0,则 U0(x)0.证证证明明明若 U0(x)0,则由(7)式,F(u0(x)F(u(x)=fv(u0(x),1(x,0)V0(x)=0.(33)结合条件(iv),有 V0(x)0.第二个结论证明与第一个类似,故过程省略.推推推论论论3.2x 0,若 U0(x)0 或 V0(x)0,则对所有的 x 0,有U0(x)0,V0(x)0.证证证明明明以 U0(x)0 为例.已知对所有的 x 0,有 U0(x)0.下证对所有的 x 0,有 U0(x)0.先假设结论不成立,即存在一点 x 0,使得 U0(x)=0.关于 x,可计算得F(u0(x)F(u(x)=Cn,P.V.RnG(u0(x)u0(y)G(u(x)u(y)|x y|n+dy=Cn,P.V.RnG(u(x)u0(y)G(u(x)u(y)|x y|n+dy=Cn,P.V.(Rn0G(u(x)u0(y)G(u(x)u(y)|x y|n+dy+0G(u(x)u0(y)G(u(x)u(y)|x y|n+dy)=Cn,P.V.(0G(u(x)u(y)G(u(x)u0(y)|x y0|n+dy+0G(u(x)u0(y)G(u(x)u(y)|x y|n+dy)=Cn,P.V.(0(G(u(x)u(y)G(u(x)u0(y)(1|x y0|n+1|x y|n+dy).(34)由 U0(y)0,故 G(u(x)u(y)G(u(x)u0(y)0.又因为|x y0|n+|x y|n+,U0(y)0,第 2 期张宇健 等:一类分数阶椭圆型偏微分方程组解的对称性195可推得F(u0(x)F(u(x)0.另一种 V0(x)0 的情况证明过程类似,故省略.第第第二二二步步步若 0 0,V0(x)0 的情况不存在即可.先假设此情况存在,即U0(x)0,V0(x)0,x 0.(37)由 0的定义可知,存在子列 kk=1和 xkk=1满足0 k+1 k 0,k=1,2,limkk=0,(38)其中 xk k,满足 Uk(xk)0 或 Vk(xk)0.以 Uk(xk)0 为例,令Uk(xk)=minxkUk(xk)0,所以 x必在 0的边界上,即 x T0.由(38)式和(40)式,则对于 l0 0(l0由引理 2.2 确定),可取 K1 0,使得当k K1,0 k 0+l0/2,xk k+l0/2,l0时,可通过引理 2.2 得到Vk(xk)2Uk(xk)0.(41)因此存在 yk k,使得Vk(yk)=minykVk(y)K1,对 k K,yk k+l0/2,l0,利用引理 2.2,有Uk(yk)2Vk(yk)K,有Uk(yk)2Vk(yk)2Vk(xk)4Uk(xk)4Uk(yk).(44)由 Uk(yk)K1,对 k K,|yk|R0,R0可由引理 2.1 确定,利用引理 2.1,对 k K,有Uk(yk)2Vk(yk)K,有Uk(yk)2Vk(yk)2Vk(xk)4Uk(xk)4Uk(yk).(46)由 Uk(yk)0,使得对 k K2,有|xk|R0,R0可由引理 2.1 确定,利用引理 2.1,对 k K2,有Vk(xk)2Uk(xk)0.(47)因此存在 yk k,使得Vk(yk)=minykVk(y)K2.(48)对于此情况,分两种情形讨论.情情情形形形2.1yk 有一个有界子列.此情况的证明与情形 1.1 类似,最后推得矛盾,故过程省略.情情情形形形2.2limk|yk|=.存在 K K2,对 k K,|yk|R0,R0可由引理 2.1 确定,利用引理 2.1,k K,有Uk(yk)2Vk(yk)K,有Uk(yk)2Vk(yk)2Vk(xk)4Uk(xk)4Uk(yk).(50)由 Uk(yk)0,可推得矛盾.所以综上四种情形的讨论,可得U0 0,V0 0,x 0.(51)第第第三三三步步步方程组的解(u,v)关于 Rn中的某一点径向对称.证证证明明明先证(u,v)关于某一超平面 x R|x1=c 对称.显然,由第二步推得的结论,若 0 0,证明过程与之前第二步相似,可证得 U0 0,V0 0,则(u,v)关于超平面 x Rn|x1=0 对称.若 0=0=0,则对 x 0,有 U0 0,V0 0,U0 0,V0 0.因此必有 U0 0,V0 0,则(u,v)关于超平面 x Rn|x1=0 对称.综上所述,由 x1的方向选择是任意的,所以(u,v)关于 Rn中的某一点径向对称.参参参考考考文文文献献献1 CAFFARELLI L,SILVESTRE L.Regularity theory for fully nonlinear integro-differential equationsJ.Comm.Pure Appl.Math.,2009,62(5):597-638.2CAFFARELLI L,SILVESTRE L.An extension problem related to the fractional Laplacian J.Commun.Part.Diff.Eq.,2007,32(8):1245-1260.3 BRANDLE C,COLORADO E,DE PABLO A,et al.A concaveconvex elliptic problem involvingthe fractional Laplacian J.Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A,2013,143(1):39-71.4 CHEN W,ZHU J.Indefinite fractional elliptic problem and Liouville theorems J.J.Diff.Equa.,2016,260(5):4758-4785.5 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the system through calculation.And the decay at infinity and the narrow regionprinciple of the system are obtained.Then,the proof is carried out in three steps.The starting pointrequired by the direct method of moving planes is found,and then the hyperplane can be moved toinfinity.The radial symmetry of the solutions is finally obtained by the direct method of moving planesand repeatedly using the proof by contradiction.Key words:fully nonlinear nonlocal operators,decay at infinity,narrow region principle,directmethod of moving planes,symmetry for solutions2010 MSC:35R11