一类非线性Klein-Go...on方程低阶混合有限元分析_朱维钧.pdf

书书书收稿日期:2022 07 16基金项目:平顶山学院培育基金(PXY PYJJ 2019006)作者简介:朱维钧(1982)，男，甘肃省天水市人，理学硕士，平顶山学院数学与统计学院讲师，主要从事有限元方法及其应用研究一类非线性 Klein-Gordon 方程低阶混合有限元分析朱维钧，张爽爽(平顶山学院 数学与统计学院，河南 平顶山 467036)摘要:对一类带耗散项的 Klein-Gordon 方程，借助双线性元建立了一种满足 BB 条件的半离散和全离散混合元逼近格式，并导出原始变量 u 的 H1模及流量?p=u 在 L2模下的超收敛结果关键词:Klein-Gordon 方程;混合元方法;半离散和全离散格式;超收敛中图分类号:O241 82文献标识码:A文章编号:1673 1670(2023)02 0001 070引言考虑下面的带耗散项的非线性 Klein-Gordon 方程:utt u+ut+f(u)+h(u)=0，(X，t)(0，T，u(X，t)=0，(X，t)(0，T，u(X，0)=u0(X)，ut(X，0)=u1(X)，X (1)这里 2为矩形区域，函数 f 满足 Lipschitz 条件，函数 h2 具有连续的一阶导数，且存在常数 C1，C2 0，使得 h()C1，h()C2，2Klein-Gordon 方程首先由奥斯卡克莱因和沃尔特高登分别独立推导出来，它在很多领域都有涉及，例如量子力学场论、非线性光学、约瑟夫逊阵列、液态氮等 因此它受到了一些物理学家和数学家的关注 文献 1得到一类随机 Klein-Gordon 方程的精确解 文献 2给出了一定假设条件下的带有耗散项和边界衰减的非线性 Klein-Gordon 方程的解的存在唯一性 文献 3 4给出了一类带有阻尼项非线性Klein-Gordon 方程的解的整体存在性 文献 5得到了其数值解 文献 6给出了一维的 Klein-Gordon 方程显式差分格式的稳定性及收敛性的证明 文献 7对一类无耗散项的 Klein-Gordon 方程，在矩形网格下利用非协调 EQrot1元，给出了半离散格式下解的超逼近性质和超收敛结果众所周知，混合有限元方法可以同时求出压力和速度，提高了离散解的精度，可以降低逼近解的光滑性 文献 8 9建立了一种自然满足 BB 条件的混合元新格式 文献 10 12分别利用该格式对二阶椭圆方程、抛物型方程、Sobolev 方程进行了高精度分析笔者对方程(1)建立自然满足 BB 条件的混合有限元格式，导出半离散和全离散新格式下精确解 u 的H1模及流量?p=u 在 L2模下的超收敛结果 设 Vh是双线性元空间，Wh=Vh Vh，显然有VhWh1半离散格式及误差分析令?p=u，则式(1)等价为第 38 卷第 2 期2023 年 4 月平顶山学院学报Journal of Pingdingshan UniversityVol 38 No 2Apr 2023utt+?p+ut+f(u)+h(?p)=0，(X，t)(0，T;?p+u=0，(X，t)(0，T;u(X，t)=0，(X，t)(0，T;u(X，0)=u0(X)，ut(X，0)=u1(X)，X (2)上式的变分问题为求 u，?p(0，TH10()(L2()2，满足(utt，v)(?p，u)+(ut，v)+(f(u)，v)+(h(?p)，v)=0，v H10();(?p，w)+(u，w)=0，w(L2()2;u(X，0)=u0(X)，ut(X，0)=u1(X)，X (3)考虑上式的半离散逼近格式，求 u，?ph(0，TVh Wh，使得(uhtt，vh)(?ph，v)+(uht，vh)+(f(uh)，vh)+(h(?ph)，vh)=0，vh Vh;(4a)(?ph，wh)+(uh，wh)=0wh Wh;(4b)uh(X，0)=Ihu0(X)，uht(X，0)=Ihu1(X)，X (4c)定理 1问题(4)有唯一解证明设 ir1i=1和 jr2j=1分别为 Vh和 Wh的一组基，则uh=r1i=1hi(t)i，?ph=r2j=1gj(t)j因为Vh Wh，在式(4a)中取 vh=j，在式(4b)中取 wh=j，可得Ad2H(t)dt2 BG(t)+AdH(t)dt+F+E=0，BG(t)+DH(t)=0其中H(t)=(h1(t)，h2(t)，hr1(t)，G(t)=(g1(t)，g2(t)，gr2(t)，A=(i，j)r1r1，B=(i，j)r1r2，F=(f(r1i=1hi(t)i)，j)r11，D=(i，j)r1r1，E=(h(r2j=1gj(t)i)，j)r11从而可得Ad2H(t)dt2+AdH(t)dt+DH(t)+F+E=0(5)类似地，在式(4b)中令 wh=j，得G=N1MH(t)(6)其中N=(i，j)r2r2，M=(j，i)r2r1H(0)和Ht(0)可分别由uh(X，0)和uht(X，0)确定，式(5)是关于向量H(t)的一个微分方程，且A是对称正定矩阵 由文献 13可知，式(5)的解存在且唯一，于是式(6)的解也存在且唯一定理 2设(u，?p)和(uh，?ph)分别是式(1)和式(4)的解，当 u H4()，ut，utt H2()，?p 2平顶山学院学报2023 年(H2()2时，有u uh1 Ch2，?p?ph0 Ch2(7)证明令 u uh=(u Ihu)+(Ihu u)=+，?p?ph=(?p h?p)+(h?p?ph)=+对于 vh Vh，wh Wh，整理式(3)、式(4)可得下面的误差方程:(tt，vh)(，vh)+(t，vh)=(tt，vh)+(，vh)(t，vh)(f(u)f(uh)，vh)(h(?p)h(?ph)，vh)，(8a)(，wh)(，wh)=(，wh)(，wh)(8b)令 vh=t，wht，代入式(8)得到(tt，t)(，t)+(t，t)=(tt，t)+(p，t)(t，t)(f(u)f(uh)，t)(h(?p)h(?ph)，t)，(9a)(，t)+(，t)=(，t)(，t)(9b)式(9a)与式(9b)相加可得(tt，t)+(t，t)+(，t)=(tt，t)(，t)(t，t)(f(u)f(uh)，t)(h(?p)h(?ph)，t)5i=1Ii(10)利用 Schwarz 不等式及 Young 不等式可得I1+I2 Ch2utt2t0+Ch2ut2t0 Ch4(utt22+ut22)+t20，利用文献 14已证明结论(u Ihu)，v)Ch2u4v0，v Vh，当 u H4)，可得I2 Ch2u4t0 Ch4u24+t20因为 h()C，并且 f 满足 Lipschitz 条件，有I4 Cu uh0t0 C20+20+t20 Ch4u22+21+t20，I5 C+0t0 Ch2?p2t0+0t0 Ch4?p22+t20+C20则式(10)可变形为12ddtt20+12ddt20 Ch4(utt22+ut22+u24+?p22)+21+C20+Ct20，两边从 0 到 t 积分，注意到(0)=0，t(0)=0，有t20+20 Ch4(0t(utt22+ut22+u24+?p22)dt)+0t21dt+C0t20dt+C0tt20dt，由 Gronwall 引理知2 Ch4(0t(utt22+ut22+u24+?p22)dt)+C0t20dt(11)在式(8b)中令 wh=，则有(，)+(，)=(，)(，)，即20=(，)(，)(，)3i=1Gi，G1=(，)C20+1420，3第 2 期朱维钧，张爽爽:一类非线性 Klein-Gordon 方程低阶混合有限元分析G2=(，)Ch2?p20 Ch4?p22+1420，G3=(，)Ch2u30 Ch4u23+1420故20 C20+Ch4?p22+Ch4u23 C21+Ch4?p22+Ch4u23(12)将式(11)代入式(12)得20 Ch4(?p22+u23+0t(utt22+ut22+u24+?p22)dt)+C0t0dt，再次利用 Gronwall 引理知20 Ch4(?p22+u23+0t(utt22+ut22+u24+?p22)dt)，(13)将式(13)代入式(11)，可得21 Ch40t(utt22+ut22+u24+?p22+u23)dt(14)由式(13)、式(14)和三角不等式，定理 2 得证2全离散格式及误差分析设 0=t0 t1 tN1 tN=T 是 0，T上步长为 =T/N 的剖分;tn=n，n=0，1，N;Un代表 t=tn=n 时 u(tn)在 Vh中的逼近 对任意在(0，T)上的函数，定义:n=(tn)，n+12=12(n+1+n)，?tn+12=1(n+1 n)，n，14=14(n+1+2n+1+n1)=12(n+12+n12)，?tn=12(n+1 n1)=1(n+12 n12)=12(?tn+12+?tn12)，?ttn=12(n+1 2n+n1)=1(?tn+12?tn12)则式(3)有下面的等价形式(?ttuj，v)(?pj，14，v)+(?tuj，v)+(f(uj，14)，v)+(h(?pj，14)，v)=(j1，v)+(j2，v)，v H10();(?pj，14，w)+(uj，14，w)=0，w(L2()2;u0(X)=u0(X)，u0t(X，0)=u1(X)，X (15)其中 j1=?ttuj uj，14tt=O(2)，j2=(?tuj uj，14t)=O(2)定义式(3)的全离散格式为:求 Uj Vh，?pj Wh使得(?ttUj，vh)(?pj，14，vh)+(?tUj，vh)+(f(Uj，14)，vh)+(h(?pj，14)，vh)=0，v Vh;(?pj，14，wh)+(Uj，14，wh)=0，wh W;U0=Ihu0，U1=Ih(u0+u1+2utt(0)/2)，X (16)为了得到误差估计，记Uj uj=Uj Ihuj+Ihuj uj=j+j，4平顶山学院学报2023 年Pj pj=Pj Ihpj+Ihpj pj=j+jvh Vh，wh Wh，由式(15)、式(16)可得(?ttj，vh)(j，14，vh)=(?tj，vh)(?ttj，vh)+(j，14，vh)(?tj，vh)(j1，vh)(j2，vh)(f(Uj，14)f(uj，14)，vh)(h(?pj，14)h(?pj，14)，vh);(17a)(j+12，wh)+(j+12，wh)=(j+12，wh)(j+12，wh)(17b)定理 3设 u 和 Uj分别是式(1)和式(16)的解 u，ut H4()，utt H2()，n=2，3，N 有?t(Un12 Ihun12)0+(Un12 Ihun12)0=O(h2+2)，Pn12 pn120=O(h2+2)证明当 j=1，2，N 1 时，对式(17)取 vh=?tj，wh=?tj，则有(?ttj，?tj)(j，14，?tj)=(?tj，?tj)(?ttj，?tj)+(j，14，?tj)(?tj，?tj)(j1，?tj)(j2，?tj)(f(Uj，14)f(uj，14)，?tj)(h(?pj，14)h(?pj，14)，?tj);(18a)(j+14，?tj)+(j+14，?tj)=(j，14，?tj)(j+14，?tj)(18b)式(18a)与式(18b)相加可得(?ttj，?tj)+(j，14，?tj)+(?tj，?tj)=(j，14，?tj)(?ttj，?tj)(?tj，?tj)(j1，?tj)(j2，?tj)(f(Uj，14)f(uj，14)，?tj)(h(?pj14)h(?pj14)，?tj)(19)式(19)左边三项可以分别写成(?ttj，?tj)=12(?t(j+12 j12)，?t(j+12+j12)=12(?tj+1220?tj1220)，(j，14，?tj)=12(j+12+j12)，(j+12 j12)=12(j+1220j1220)，(?tj，?tj)=?tj20另一方面式(19)右边项可以估计为(j，14，?tj)Ch4(uj+1224+uj1224)+?tj20，(?ttj，?tj)C?ttj)20+?tj20 C1tj+1tj1tt20ds+?tj20 Ch41tt+1tj1utt22ds+?tj20，(?tj，?tj)?tj)0?tj0 C?tj20+?tj20 Ch41tt+1tj1utt22ds+?tj20，(j1，?tj)+(j2，?tj)C4+?tj20，(f(Uj，14)f(uj，14)，?tj)CUj，14 uj，140?tj0 Ch4(uj+1222+uj1222)+C(j+1220+j1220)+?tj20，同理(h(?pj，14)h(?pj，14)，?tj)Ch4(?pj+1222+?pj1222)+C(j+1220+j1220)+?tj20，则式(19)可以写为?tj+1220?tj1220+j+1220j1220Ch4+C5+C(j+1220+j1220+j+1220+j1220)(20)对式(17b)，令 wh=?tj可得5第 2 期朱维钧，张爽爽:一类非线性 Klein-Gordon 方程低阶混合有限元分析(j，14，?tj)=(j，14，?tj)(j，14，?tj)(j，14，?tj)(21)式(21)的左边项可以写成(j，14，?tj)=12(j+12+j12，j+12 j12)=12(j+1220j1220)式(21)的右边项可以估计为(j，14，?tj)=12(j+12+j12，j+12 j12)12(C(j+1220+j1220)+14(j+1220+j1220)(j，14，?tj)=12(j+12+j12，j+12 j12)12(Ch2(uj+1223+uj1223)+14(j+1220+j1220)(j，14，?tj)=12(j+12+j12，j+12 j12)=12(Ch4(?pj+1222+?pj1222)+14(j+1220+j1220)则式(21)可以写为j+1220 7j1220 Ch4+C(j+1220+j1220)(22)对式(20)关于 j 从 1 到 n 1 求和，有?tn1220+n1220 Ch4+C4+?t1220+1220+Cnj=1(j1220)+Cnj=1(j1220)(23)注意到 1=U1 Ihu1=O(3)，0=0，有?t1220=1(1 0)20=C4，1220=(12(1+0)20=C4则式(23)可以整理为?tn1220+(1 C)n1220 Ch4+C4+Cn1j=1j1220+Cnj=1j1220选择恰当的 C，利用离散的 Gronwall 引理可得?tn1220+n1220 Ch4+C4+Cnj=1j1220(24)将式(24)代入式(22)可得j+1220 7j1220 Ch2+C4+Cjk=1k1220再次利用离散的 Gronwall 引理可得j+1220 Ch2+C4即n1220 Ch4+C4(25)将式(25)代入式(24)可得?tn1220+n1220 Ch4+C4(26)由式(25)、式(26)和三角不等式知定理 3 得证6平顶山学院学报2023 年3结论笔者能得到超逼近性质，是因为选用了一个特殊的混合元 Q11+Q11 Q11，若采用单一的协调元(如双线性元)或者非协调元(如 EQrot1元)，由于耗散项 h(u)的存在，只能得到(h(u)h(uh)Chu2t0，无法得到 u 的 H1模意义下 O(h2)阶的超逼近和超收敛结果 这也验证了混合元可以提高离散解精度这一显著特点参考文献:1 吴娇，韩艳娜 Wick 型随机 KG 方程的精确解 J 数学的实践与认识，2017(11):226 231 2 ZHANG Z Y，LIU Z H，MIAO X J，et al Global existence and uniform stabilization of a generalized dissipative Klein-Gordonequation type with boundary damping J J Math Phys，2011，52(2):564 575 3 黄文毅，赖绍永，张健 非线性 Klein-Gordon 方程整体解存在的最佳条件 J 数学学报，2005(2):311 318 4 赵军生，柳洪志 非线性 Klein-Gordon 方程柯西问题解的整体存在性与 Blow-up J 数学学报，2008(4):711 720 5 闵涛，任菊成，耿蓓 一类非线性 Klein-Gordon 方程的数值解 J 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condition is easier to be satisfied for both semi-discrete and fully-discrete scheme is proposedwith the bilinear element The superconvergence results of exact solution u in H1norm and flux?p in L2norm wereobtainedKey words:Klein-Gordon equations;mixed finite element method;semi-discrete and fully-discrete scheme;superconvergence7第 2 期朱维钧，张爽爽:一类非线性 Klein-Gordon 方程低阶混合有限元分析