全国高中数学联赛试题及解析 苏教版12.doc

1992年全国高中数学联赛试卷
第一试
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( )
(A) (B) (C) (D)
2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0
(C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0
3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(Si)/S，则λ一定满足( )
(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC( )
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
(A)8 (B)4 (C)6 (D)12
6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，则f(x)是
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数
二、填空题(每小题5分共30分)
1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则+的值是______．
2．在区间[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______．
3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．
4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是______．
5．设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是____．
6．函数f(x)= －的最大值是_____．
三、(20分)求证：16<<17．
四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．
五、(20分)设n是自然数，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+．
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x)，(n>1)
2.用数学归纳法证明：
fn(x)=
第二试
一、(35分) 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．
二、(35分) 设集合Sn={1,2,L,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．
1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等．
2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．
三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2．
1992年全国高中数学联赛解答
第一试
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( )
(A) (B) (C) (D)
解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴ |AnBn|=－，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，选B．
2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0
(C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0
解：(x-)=0表示y轴右边的半圆，(y+)=0表示x轴下方的半圆，故选D．
3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(Si)/S，则λ一定满足( )
(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ
解： Si≤4S，故Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，Si接近2S，故选A．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC( )
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
解：x2=4x－4．根为x=2．∴ C=2A，ÞB=180°－3A，sinB=2sinA．Þsin3A=2sinA，
Þ3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B．
5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
(A)8 (B)4 (C)6 (D)12
解：=cos±isin．∴ |z2|=8，z1、z2的夹角=60°．S=·4·8·=8．选A．
6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，则f(x)是
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数
解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)．
∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴ 是奇函数．选C．
二、填空题(每小题5分共30分)
1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则+的值是______．
解：16y2=15xz，y=，Þ16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得=，Þ+=．
2．在区间[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 ．
解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)Þx=kπ，x=kπ (k∈Z)，共有7解．
3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是 ．
解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k的最大值=4．
4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是______．
解：cos∠OZ1Z3==－．即∠OZ1Z3==120°，
∴ arg()=或．
∴ arg()3=π．
5．设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是____.
解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，
相减，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+2¹1，得an+4=an．
又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．
∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200．
6．函数f(x)= －的最大值是_____．
解：f(x)= －，表示点(x，x2)与点A(3，2)的距离及B(0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB|=．即所求最小值为．
三、(20分)求证：16<<17．
证明：=<=2(－)，
同时>=2(－)．
于是得2(－)<<1+2(－)
即 16<<1+2(－1)<1+2(9－1)=17．
四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．
解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l¢，l¢∩m=K．
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，则Q、R∈l¢，且AP=BQ=CR=l与m的距离d．
连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．
PD=，QE=，RF=．
当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF，
Þ=+．解之得d=
当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD－RF，Þ=－．无实解．
∴ l与m距离为．
五、(20分)设n是自然数，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+．
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)
2.用数学归纳法证明：
fn(x)=
证明： ⑴ 由yfn(x)-fn－1(x)= ==fn+1(x)．故证．
⑵ f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x－2=(x+)2－1=y2－1．故命题对n=1，2 成立．
设对于n≤m(m≥2，m为正整数)，命题成立，现证命题对于n=m+1成立．
1． 若m为偶数，则m+1为奇数．由归纳假设知，对于n=m及n=m－1，有
fm(x)= ym－Cym－2+C ym－4+…+(－1)iCym－2i+…+(－1)Cy ①
fm－1(x)= ym－1－Cym－3+…+(－1)i－1Cym+1－2i+…+(－1)·Cy ②
∴ yfm(x)－fm－1(x)=ym+1－…+(－1)i(C+C)ym+1－2i+…+(－1)(C+C)y
= ym+1－Cym－1+…+(－1)iCym+1－2i+…+(－1)·Cy
即命题对n=m+1成立．
2．若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m－1，有
fm(x)= ym－1－Cym－2+…+(－1)i·Cym－2i+…+(－1)·C y ③
fm－1(x)= ym－1－Cym－3+…+(－1)i－1Cym+1－2i+…+(－1)C ④
用y乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为
－(－1)C=－(－1)C=(－1)．
于是得到yfm(x)－fm－1(x)=ym+1－Cm1ym－1+…+(－1)，即仍有对于n=m+1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n，命题成立．
第二试
一、(35分) 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．
证明：连A2H1，A1H2，取A3A4的中点M，连OM，由上证知A2H1∥OM，A2H1=2OM，A1H2∥OM， A1H2=2OM，从而H1H2A1A2是平行四边形，故H1H2∥A1A2 ，H1H2=A1A2．
同理可知，H2H3∥A2A3，H2H3=A2A3；
H3H4∥A3A4，H3H4=A3A4；
H4H1∥A4A1，H4H1=A4A1．
故 四边形A1A2A3A4≌四边形H1H2H3H4．
由四边形A1A2A3A4有外接圆知，四边形H1H2H3H4也有外接圆．取H3H4∥的中点M1，作M1O1⊥H3H4，且M1O1=MO，则点O1即为四边形H1H2H3H4的外接圆圆心．
又证：以O为坐标原点，⊙O的半径为长度单位建立直角坐标系，设OA1、OA2、OA3、OA4与OX正方向所成的角分别为α、β、γ、d，则点A1、A2、A3、A4的坐标依次是(cosα，sinα)、(cosβ，sinβ)、(cosγ，sinγ)、(cosd，sind)．
显然，⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的外心都是点O，而它们的重心依次是
((cosβ+cosγ+cosd)，(sinβ+sinγ+sind))、((cosγ+cosd+cosα)，(sinα+sind+sinγ))、
((cosd+cosα+cosβ)，(sind+sinα+sinβ))、((cosα+cosβ+cosγ)，(sinα+sinβ+sinγ))．
从而，⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心依次是
H1(cosβ+cosγ+cosd， sinβ+sinγ+sind)、H 2 (cosγ+cosd+cosα，sinα+sind+sinγ)、
H 3 (cosd+cosα+cosβ，sind+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ，sinα+sinβ+sinγ)．
而H1、H2、H3、H4点与点O1(cosα+cosβ+cosγ+cosd，sinα+sinβ+sinγ+sind)的距离都等于1，即H1、H2、H3、H4四点在以O1为圆心，1为半径的圆上．证毕．
二、(35分)设集合Sn={1,2,L,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．
1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等．
2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．
证明：⑴ 对于Sn的每个奇子集A，当1∈A时，取B=A\{1}，当1ÏA时，取B=A∪{1}，则B为Sn的偶子集.反之，若B为Sn的偶子集，当1∈B时，取A=B\{1}，当1ÏB时，取A=B∪{1}，于是在Sn的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，故Sn的奇子集与偶子集的个数相等.
⑵ 对于任一i∈Sn，i>1，含i的Sn的子集共有2n-1个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而每个数i，在奇子集的和与偶子集的和中，i所占的个数是一样的.
而对于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配对(即在上证中把1换成3来证)，于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等.
⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现2n-2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+…+n)×2n-2=n(n+1)×2n-3．
三、(35分) 在平面直角坐标系中，任取6个格点Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足：
⑴ |xi|≤2，|yi|≤2(i=1，2，3，4，5，6)；
⑵ 任何三点不在一条直线上．
试证明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形的面积不大于2．
证明 如图，满足条件的格点只能是图中A、B、…、Y这25个格点中的6个．把这25个格点分成三个矩形：矩形AEFJ、KOWU、MNYX．
若所取的6个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中，则此三点即满足要求．
若三个矩形中均无所取6点中的3点，则必是每个矩形中有所取的2个点．
⑴ 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的点，则此点与矩形MNYX中的两点满足要求；
⑵ 若上述7点均未取，则A、B、C、H、I、J中必有两点，此时若L、K中有所取的点，则亦有三点满足要求；
⑶ 若L、K亦未取，则必在P、Q、V、U中取了2点，矩形ACHJ中取了2点：此时取P、Q两点，或Q、V两点，或V、U两点，或U、P两点，或Q、U两点，则无论ACHJ中取任一点，与之组成三角形面积均满足要求．
若取P、V两点，则矩形ACHJ中必有一点异于C，取此点与P、V满足要求．
综上可知，必有满足要求的3点存在．